Kegiatan Pembelajaran 4: Kedudukan Dua Lingkaran

Minggu, 03 November 2024

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan kalian dapat menentukan kedudukan dua lingkaran, menentukan persamaan berkas lingkaran, dan menyelesaikan masalah terkait kedudukan dua lingkaran.

B. Uraian Materi

1.    Kedudukan Dua Lingkaran

Misalkan terdapat dua buah lingkaran L1 dan L2, dimana

L₁ ≡ 𝑥² + 𝑦² + 𝐴₁𝑥 + 𝐵₁𝑦 + 𝐶₁ = 0, dengan pusat P₁ dan jari-jari 𝑟₁.

L₂ ≡ 𝑥² + 𝑦² + 𝐴₂𝑥 + 𝐵₂𝑦 + 𝐶₂ = 0, dengan pusat P₂ dan jari-jari 𝑟₂.

Kedudukan dari kedua lingkaran L1 dan L2 ada beberapa kemungkinan, yaitu:

a.     Dua lingkaran berpotongan

Perhatikan gambar di samping!

Lingkaran L₁ dan L₂ berpotongan di dua titik, D dan E. Segmen garis DE disebut tali busur sekutu.

Perhatikan segitiga DP1P2. Dalam ketaksamaan segitiga diketahui bahwa jumlah dua sisi segitiga selalu lebih besar dari pada sisi ketiganya. Berdasarkan hal tersebut, maka dua lingkaran berpotongan jika jarak

P₁P₂ < r₁ + r₂

 b.    Dua lingkaran bersinggungan

Ada dua kemungkinan untuk dua lingkaran saling bersinggungan, yaitu bersinggungan luar atau bersinggungan dalam.

Pada gambar di samping ditunjukkan dua lingkaran yang saling bersinggungan luar. Hal ini dapat terjadi jika jarak antara kedua pusat lingkaran sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran tersebut.

Bersinggungan Luar:

P₁P₂ = r₁ + r₂

Pada gambar di samping ditunjukkan dua lingkaran yang saling bersinggungan dalam.

Hal ini dapat terjadi jika jarak antara kedua pusat lingkaran sama dengan selisih jari-jari kedua lingkaran tersebut.

Bersinggungan dalam:

P₁P₂ = |r₁ – r₂|

 

c.      Dua lingkaran tidak berpotongan atau bersinggungan

Pada gambar di samping ditunjukkan dua lingkaran yang tidak berpotongan atau bersinggungan. Hal ini dapat terjadi jika jarak antara kedua pusat lingkaran lebih besar daripada jumlah jari-jari kedua lingkaran tersebut.

Tidak Berpotongan :

P₁P₂ > r₁ + r₂

 

d.    Dua lingkaran berpotongan tegak lurus (Orthogonal)

Dua lingkaran dikatakan berpotongan orthogonal (tegak lurus) jika garis singgung kedua lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran membentuk sudut 90° (atau saling tegak lurus), seperti yang ditunjukkan pada gambar di samping.

Dua lingkaran berpotongan tegak lurus jika dipenuhi syarat kuadrat jarak antara pusat kedua lingkaran (P₁P₂²) sama dengan jumlah kuadrat jari-jarinya (r₁² + r₂²).

Dua lingkaran orthogonal: (P₁P₂)² = r₁² + r₂².

Catatan:

Jika lingkaran L₁ ≡ 𝑥² + 𝑦² + 𝐴₁𝑥 + 𝐵₁𝑦 + 𝐶₁ = 0 dan lingkaran L₂ ≡ 𝑥² + 𝑦² + 𝐴₂𝑥 + 𝐵₂𝑦 + 𝐶₂ = 0, maka kedua lingkaran juga akan berpotongan tegak lurus jika memenuhi syarat:

2A₁A₂ + 2B₁B₂ = C₁ + C₂

 

e.      Lingkaran L₂ memotong dan membagi dua sama besar lingkaran L₁

Gambar di samping menunjukkan lingkaran L₂ membagi dua sama besar lingkaran L₁. Hal ini terjadi jika dipenuhi syarat kuadrat jarak antara pusat kedua lingkaran (P₁P₂²) sama dengan selisih kuadrat jari-jarinya (r₂² – r₁²).

Lingkaran L₂ memotong dan membagi dua sama besar lingkaran L₁:

(P₁P₂)² = r₂² – r₁²

 

Contoh 1.

Tunjukkan bahwa lingkaran 𝑥² + 𝑦² − 16𝑥 −20𝑦 + 115 = 0 dan lingkaran 𝑥² + 𝑦² + 8𝑥 − 10𝑦 + 5 = 0 saling bersinggungan dan carilah titik singgungnya.

Jawab

Misalkan kedua lingkaran adalah L₁ dan L₂.

Untuk menentukan jenis kedudukan kedua lingkaran, maka perlu dibandingkan jarak antara pusat P₁P₂ dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran r₁ + r₂.

Jarak P₁P₂ = jarak antara titik (8, 10) dan (–4, 5)

Jumlah jari-jari r₁ + r₂ = 7 + 6 = 13

Karena P₁P₂ = r₁ + r₂, maka kedua lingkaran bersinggungan luar.

Untuk menentukan koordinat titik singgung kedua lingkaran dapat digunakan rumus perbandingan segmen garis berikut ini.

P₁Q : QP₂ = 7 : 6

Jadi koordinat titik singgung kedua lingkaran adalah .

 

Contoh 2.

Diketahui lingkaran L₁ ≡ 𝑥² + 𝑦² + 6𝑥 + 5 = 0 dan L₂ ≡ 𝑥² + 𝑦² − 4𝑥 = 0. Selidiki, apakah kedua lingkaran tersebut berpotongan?

Jawab

Untuk menentukan jenis kedudukan kedua lingkaran, maka perlu dibandingkan jarak antara pusat P₁P₂ dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran r₁ + r₂.

Jarak P₁P₂ = jarak antara titik (–3, 0) dan (2 , 0).

Jumlah jari-jari r₁ + r₂ = 2 + 2 = 4

Karena P₁P₂ > r₁ + r₂, maka kedua lingkaran tidak saling berpotongan.

Contoh 3.

Diketahui dua lingkaran 𝐿₁ ≡ 𝑥² + 𝑦² − 4𝑥 − 1 = 0 dan lingkaran 𝐿₂ ≡ 𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0. Tentukan banyak garis singgung persekutuan dari dua lingkaran tersebut.

Jawab

Untuk mengetahui banyak garis singgung persekutuan dua lingkaran, kita perlu mengetahui kedudukan kedua lingkaran.

Untuk menentukan jenis kedudukan kedua lingkaran, maka perlu dihitung jarak antara pusat P₁P₂ ,r₁ + r₂, dan |𝑟₁ − 𝑟₂|.

Jarak P₁P₂ = jarak antara titik (2, 0) dan (4, –1).

Karena P₁P₂ = |𝑟₁ − 𝑟₂|, maka kedua lingkaran bersinggungan dalam.

Dua lingkaran yang bersinggungan dalam hanya dapat dibuat satu garis singgung persekutuan.

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 4: Kedudukan Dua Lingkaran. Please share...!