Misalkan dua lingkaran L1 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 berpotongan dengan lingkaran L2 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 pada dua titik potong, D dan E, dengan DE disebut tali busur sekutu. Dari tali busur sekutu (DE) ini bisa dibuat sejumlah lingkaran yang disebut sebagai berkas lingkaran.
Gambar di atas menunjukkan salah satu berkas lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran (D dan E), dimana garis DE adalah bagian dari garis kuasa kedua lingkaran yang memenuhi persamaan L1 – L2 = 0. Berkas lingkaran terdiri atas sejumlah lingkaran yang memenuhi suatu persamaan umum tertentu, dengan parameternya saja yang berbeda.
Misalkan parameter ini diberi simbol λ (dibaca “lamda”) maka persamaan berkas lingkaran mirip persamaan garis kuasa L1 – L2 = 0 dengan menyisipkan parameter λ pada L2, sehingga persamaan berkas lingkaran untuk kedua lingkaran L1 dan L2 adalah berkas lingkaran L1 + λL2 = 0.
Persamaan berkas lingkaran: L1 + λL2 = 0
Salah satu persamaan berkas L1 + λL2 = 0 yang melalui titik potong D dan E ditunjukkan pada gambar di atas. Himpunan semua lingkaran yang memenuhi L1 + λL2 = 0 disebut berkas lingkaran dengan L1 dan L2 sebagai lingkaran dasar.
Kita akan menganalisis persamaan berkas lingkaran dengan mengubah ke bentuk umum persamaan lingkaran berikut ini.
Bagi kedua ruas di atas dengan (1 + λ) diperoleh:
Persamaan (***) di atas menunjukkan suatu persamaan lingkaran untuk setiap nilai λ. Perhatikan beberapa kasus di bawah ini.
1. Jika λ = 0, maka dari persamaan berkas lingkaran (*), yaitu L1 + λL2 = 0 akan diperoleh L1 = 0.
2. Jika λ → ∞ maka dari persamaan (***) diperoleh,
3. Jika λ = –1, maka dari persamaan berkas lingkaran (*) diperoleh,
L1 + λL2 = 0
L1 + (–1)L2 = 0
L1 – L2 = 0
artinya garis kuasa terhadap lingkaran L1 dan L2 termasuk salah satu persamaan berkas lingkaran. Garis kuasa dapat dianggap sebagai lingkaran dengan pusat pada garis hubung titik pusat kedua lingkaran dan terletak di tak hingga, sehingga busurnya berupa garis lurus.
Contoh 4.
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran L1 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 2x + 2y – 2 = 0 dan L2 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 4x – 8y + 4 = 0, serta melalui titik asal (0, 0).
Jawab
Lingkaran yang dicari melalui titik potong lingkaran L1 dan L2, dan ini merupakan salah satu anggota dari berkas lingkaran L1 dan L2 yang dirumuskan oleh persamaan L1 + λL2 = 0.
L1 + λL2 = 0 dengan λ sebagai parameter
x2 + y2 + 2x + 2y – 2 + λ (x2 + y2 + 4x – 8y + 4) = 0 …………. (*)
Persamaan (*) melalui titik asal (0, 0), berarti x = 0 dan y = 0 dapat disubstitusi ke persamaan (*) untuk menghitung parameter λ.
02 + 02 + 2(0) + 2(0) – 2 + λ(02 + 02 + 4(0) – 8(0) + 4) = 0
–2 + λ(4) = 0
4λ = 2
Substitusi nilai parameter 
ke persamaan (*) untuk memperoleh persamaan lingkaran tersebut.
x2 + y2 + 2x + 2y – 2 + ½ (x2 + y2 + 4x – 8y + 4) = 0 ………. kalikan dengan 2
⇔ 2x2 + 2y2 + 4x + 4y – 4 + (x2 + y2 + 4x – 8y + 4) = 0
⇔ 2x2 + x2 + 2y2 + y2 + 4x + 4x + 4y – 8y – 4+ 4 = 0
⇔ 3x2 + 3y2 + 8x – 4y = 0
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah 3x2 + 3y2 + 8x – 4y = 0.
Contoh 5.
Diketahui lingkaran A dengan pusat (0, 1) dan jari-jari 3 satuan, dan lingkaran B dengan pusat (0, –1) dan jari-jari 3. Tentukan persamaan berkas lingkaran yang terbentuk dari kedua lingkaran tersebut dan melalui pusat lingkaran B.
Jawab
Persamaan lingkaran A adalah LA ≡ x2 + (y – 1)2 = 9
Persamaan lingkaran B adalah LB ≡ x2 + (y + 1)2 = 9
Persamaan berkas lingkaran yang dimaksud adalah,
Berkas lingkaran melalui titik pusat lingkaran B, yaitu (0, –1), berarti x = 0 dan y = –1 dapat disubstitusi ke persamaan (*) untuk menghitung parameter λ.
Substitusi nilai parameter 
ke persamaan (*) untuk memperoleh persamaan lingkaran tersebut.
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah x2 + y2 – 7y – 8 = 0.
Thanks for reading Berkas Lingkaran. Please share...!
