Perkalian

Minggu, 10 November 2024

  

b.    Perkalian

Anak-anakku untuk mempermudah kita melakukan perkalian polinomial kita bisa menggunakan sifat distributif seperti berikut.

          𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐 + ⋯ + 𝑘) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 + ⋯ + 𝑎 ∙ 𝑘

(𝑏 + 𝑐 + ⋯ + 𝑘) ∙ 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑎 + ⋯ + 𝑘 ∙ 𝑎

Secara umum, kita dapat mengalikan polinomial derajat 𝑚 dengan polinomial derajat 𝑛 sebagai berikut.

(𝒂^𝒎 + 𝒃𝒙^𝒎−𝟏 + ⋯)(𝑨𝒙^𝒏 + 𝑩𝒙^𝒏−𝟏 + ⋯) = 𝒂 ∙ 𝑨𝒙^𝒎+𝒏 + 𝒃 ∙ 𝑩𝒙^{𝒎+𝒏−𝟐} + ⋯

Hal ini berarti ketika mengalikan dua polinomial, kita menerapkan sifat-sifat perpangkatan yang telah dipelajari, yaitu 𝒙^𝒎 ∙ 𝒙^𝒏 = 𝒙^𝒎+𝒏

Untuk memahami perkalian pada polinomial, yuk kita perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Diberikan dua buah suku banyak (𝑥) dan (𝑥) yang ditentukan oleh:

(𝑥) = 𝑥³ + 𝑥² − 3𝑥 + 1, (𝑥) = 𝑥³ − 2𝑥² + 2𝑥 − 1

Tentukan (𝑥)∙𝑔(𝑥) serta derajatnya !

Pembahasan:

Diketahui: (𝑥) = 𝑥³ + 𝑥² − 3𝑥 + 1, (𝑥) = 𝑥³ − 2𝑥² + 2𝑥 − 1

Maka (𝑥)∙𝑔(𝑥) dapat dituliskan sebagai berikut.

(𝑥)∙(𝑥) = (𝑥³ + 𝑥² − 3𝑥 + 1) ∙ (𝑥³ − 2𝑥² + 2𝑥 − 1)

                = 𝑥³(𝑥³ − 2𝑥² + 2𝑥 − 1) + 𝑥²(𝑥³ − 2𝑥² + 2𝑥 − 1) –

 3(𝑥³ − 2𝑥² + 2𝑥 − 1) + 1(𝑥³ − 2𝑥² +2𝑥 − 1)

      = 𝑥⁶ − 2𝑥⁵ + 2𝑥⁴ − 𝑥³ + 𝑥⁵ − 2𝑥⁴ + 2𝑥³ − 𝑥² –

           3𝑥⁴ + 6𝑥³ − 6𝑥² + 3𝑥 + 𝑥³ −2𝑥² + 2𝑥 − 1

      = 𝑥⁶ + (−2𝑥⁵ + 𝑥⁵) + (2𝑥⁴ − 2𝑥⁴ − 3𝑥⁴) +  (−𝑥³ + 2𝑥³ +

           6𝑥³ + 𝑥³) + (−𝑥² − 6𝑥² − 2𝑥²) + (3𝑥 + 2𝑥) − 1

      = 𝑥⁶ + (−2 − 1)⁵ + (2 – 2 − 3)⁴ + (−1 + 2 + 6 +

 1)³ + (−1 – 6 − 2)² + (3 + 2)𝑥 − 1

      = 𝑥⁶ − 3𝑥⁵ − 3𝑥⁴ + 8𝑥³ − 9𝑥² + 5𝑥 − 1

Jadi, (𝑥)∙𝑔(𝑥) = 𝑥⁶ − 3𝑥⁵ − 3𝑥⁴ + 8𝑥³ − 9𝑥² + 5𝑥 − 1 dengan derajat polinomial adalah 6 karena pangkat tertinggi dari variabel adalah 6.

Berdasarkan uraian pada contoh soal dapat disimpulkan sebagai berikut.

 

Misalkan (𝑥) polinomial berderajat 𝑚 dan (𝑥) polinomial berderajat 𝑛 maka:

Derajat dari f(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) adalah (𝒎 + 𝒏)

“Sumber Informasi” 

Labels: Matematika

Thanks for reading Perkalian . Please share...!