Kesamaan Polinomial

Senin, 11 November 2024

 

3.     Kesamaan Polinomial

Dua polinomial berderajat 𝑛 dalam variabel 𝑥 yaitu (𝑥) dan (𝑥) dikatakan sama jika kedua suku banyak itu mempunyai nilai yang sama untuk variabel 𝑥. Kesamaan polinomial (𝑥) dan (𝑥) dapat dituliskan sebagai berikut.

𝒇(𝒙) ≡ 𝒈(𝒙)

Anak-anakku, secara matematis kesamaan suku banyak dapat dituliskan sebagai berikut.

Misalkan dua suku banyak berderajat 𝑛,

f(𝑥) = a_nxⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + a₂x² + a₁x+ a₀

g(𝑥) = b_nxⁿ + b_{n – 1} x^{n – 1} + b_{n – 2} x^{n – 2} + … + b₂x² + b₁x+ b₀

(𝑥) sama dengan g(𝑥), ditulis 𝑓(𝑥) ≡ g(𝑥) jika dan hanya jika 𝑎_𝑛 = 𝑏_𝑛, 𝑎_𝑛−1 = 𝑏_𝑛−1, 𝑎_𝑛−2 = 𝑏_𝑛−2,…, 𝑎₁ = 𝑏₁, 𝑎₀ = 𝑏₀

Koefisien dari variabel berpangkat sederajat adalah sama.

Contoh Soal 1:

Diketahui suku banyak Ax² + Bx + C sama dengan 6𝑥² − 4𝑥 + 3. Tentukan nilai koefisien 𝐴, dan 𝐶 !

Pembahasan:

Ax² + Bx + C ≡ 6𝑥² − 4𝑥 + 3 jika dan hanya jika koefisien 𝑥², 𝑥, dan konstanta pada ruas kiri dan ruas kanan adalah sama.

Koefisien 𝑥²: 𝐴 = 6 ;

koefisien 𝑥 : 𝐵 = −4 B = – 4 ;

konstanta : 𝐶 = 3

Jadi, 𝐴 = 6, 𝐵 = – 4, dan 𝐶 = 3.

Contoh Soal 2:

Diketahui 𝑥³ + 2𝑥² − 4𝑥 + 7 ≡ (𝑥 + 1)² + b(x – 2) + 𝑐 untuk semua 𝑥. Nilai 𝑎,, dan 𝑐 adalah …

Pembahasan:

Samakan koefisien suku sejenis di ruas kiri dan ruas kanan.

𝑥³ + 2𝑥² − 4𝑥 + 7 ≡ (𝑥 + 1)² + b(x – 2) + 𝑐

          = 𝑎(𝑥2 + 2𝑥 + 1) + 𝑏𝑥 − 2𝑏 + 𝑐

= (𝑎𝑥∙𝑥²) + (𝑎𝑥∙2𝑥) + (𝑎𝑥∙1) + 𝑏𝑥 − 2𝑥 + 𝑐

= 𝑎𝑥³ + 2𝑎𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 2𝑏 + 𝑐

= 𝑎𝑥³ + 2𝑎𝑥² + (𝑎 + 𝑏) + (−2𝑏 + 𝑐)

Jadi kesamaan suku banyak adalah

𝑥³ + 2𝑥² − 4𝑥 + 7 ≡ 𝑎𝑥³ + 2𝑎𝑥² + (𝑎 + 𝑏) + (−2𝑏 + 𝑐)

Koefisien 𝑥³ : 1 = 𝑎 → 𝒂 = 𝟏

Koefisien  : −4 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑎 + 𝑏 = −4 mencari nilai 𝑏 dengan mensubstitusi 𝑎 = 1 ke 𝑎 + 𝑏 = −4 diperoleh:

1 + 𝑏 = −4

       𝑏 = −4 −1

       𝒃 = −𝟓

Konstanta : 7 = −2𝑏 + 𝑐 → −2𝑏 + 𝑐 = 7 substitusi 𝑏 = −5 untuk memperoleh nilai 𝑐.

−2𝑏 + 𝑐 = 7

−2(−5) + 𝑐 = 7

10 + 𝑐 = 7

𝑐 =7 − 10

𝒄 = −𝟑

Jadi, nilai 𝑎 = 1, 𝑏 = −5, dan 𝑐 = −3.

Contoh Soal 3:

Berdasarkan kesamaan berikuttentukan nilai a dan b, 

Pembahasan:

Samakan koefisien suku sejenis di ruas kiri dan ruas kanan.

Berdasarkan kesamaan polinomial di atas diperoleh dua persamaan sebagai berikut.

2 = 𝑎 + 𝑏 → 𝒂 + 𝒃 = 𝟐 persamaan (i)

10 = 2𝑎 − 4𝑏 → 2𝑎 − 4𝑏 = 10 → 𝒂 – 𝟐𝒃 = 𝟓 persamaan (ii)

Untuk mencari nilai 𝑎 dan 𝑏 eliminasi persamaan (i) dan (ii) sebagai berikut:

Substitusi 𝑏 = −1 untuk mencari nilai 𝑎 ke persamaan 𝑎 + 𝑏 = 2 sehingga diperoleh:

Jadi, nilai 𝑎 = 3 dan 𝑏 = −1.

 

 “Sumber Informasi” 

Labels: Matematik

Thanks for reading Kesamaan Polinomial. Please share...!