Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk (𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃)

Sabtu, 23 November 2024

 3.     Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk (𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃)

Jika pembagi bentuk kuadrat tidak dapat difaktorkan, maka sisa pembagian tidak dapat diperoleh dengan teorema sisa, tetapi harus menggunakan cara pembagian bersusun.

Pembagian polinomial (𝑥) oleh (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) memberikan hasil bagi ℎ(𝑥) dan sisa pembagian 𝑠(𝑥), yang memenuhi hubungan:

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)ℎ(𝑥) + 𝑠(𝑥).

Karena (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) berderajat 2, maka sisa pembagiannya maksimal berderajat 1, misalkan 𝑠(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞, maka hubungan di atas menjadi:

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)ℎ(𝑥) + (𝑝𝑥 + 𝑞)

Berdasarkan uraian di atas diperoleh:

Sisa pembagian polinomial (𝑥) oleh (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) adalah 𝑠(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 dengan 𝑓(𝑎) = 𝑝𝑎 + 𝑞 dan 𝑓(𝑏) = 𝑝𝑏 + 𝑞

Bukti:

Derajat pembagi polinomial (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) adalah 2, maka sisa pembagiannya berderajat 1 yaitu 𝑠(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 sehingga diperoleh:

Terbukti: sisa (𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 dengan 𝑓(𝑎) = 𝑝𝑎 + 𝑞 dan 𝑓(𝑏) = 𝑝𝑏 + 𝑞.

Anak-anakku agar kita lebih memahami penggunaan teorema sisa untuk pembagi (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) mari kita pahami contoh soal berikut.

Contoh Soal

Suku banyak (𝑥) jika dibagi (𝑥 + 2) sisanya 12 dan jika dibagi (𝑥 – 3) sisanya −3. Tentukan sisanya jika  (𝑥) dibagi oleh (𝑥 + 2)(𝑥 – 3) !

Alternatif Penyelesaian:

Pembagi (𝑥 + 2)(𝑥 – 3) berderajat 2, maka sisanya 𝑠(𝑥) berderajat 1.

Misal (𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞

(𝑥) dibagi (𝑥 + 2)(𝑥 – 3), maka dapat ditulis :

  (𝑥)    = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)∙ℎ(𝑥) + 𝑠(𝑥)

= (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)∙ℎ(𝑥) + (𝑝𝑥 + 𝑞)

(𝑥) dibagi (𝑥 + 2) bersisa 12, maka 𝑓(−2) = 12, sehingga :

Diperoleh persamaan −2𝑝 + 𝑞 = 12 merupakan persamaan (i) (𝑥) dibagi (𝑥 − 3) bersisa −3, maka 𝑓(3) = −3, sehingga:

Diperroleh persamaan 3𝑝 + 𝑞 = −3 merupakan persamaan (ii)

Eliminasi 𝑞 pada persamaan (i) dan (ii) untuk mencari nilai 𝑝.

Substitusi nilai 𝑝 = −3 ke persamaan (i),

Diperoleh sisa pembagian,

Jadi, sisa pembagiannya adalah (𝑥) = −3𝑥 + 6.

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk (𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃). Please share...!