3. Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk (𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃)
Jika pembagi bentuk kuadrat tidak dapat difaktorkan, maka sisa pembagian tidak dapat diperoleh dengan teorema sisa, tetapi harus menggunakan cara pembagian bersusun.
Pembagian polinomial (𝑥) oleh (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) memberikan hasil bagi ℎ(𝑥) dan sisa pembagian 𝑠(𝑥), yang memenuhi hubungan:
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)ℎ(𝑥) + 𝑠(𝑥).
Karena (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) berderajat 2, maka sisa pembagiannya maksimal berderajat 1, misalkan 𝑠(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞, maka hubungan di atas menjadi:
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)ℎ(𝑥) + (𝑝𝑥 + 𝑞)
Berdasarkan uraian di atas diperoleh:
Sisa pembagian polinomial (𝑥) oleh (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) adalah 𝑠(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 dengan 𝑓(𝑎) = 𝑝𝑎 + 𝑞 dan 𝑓(𝑏) = 𝑝𝑏 + 𝑞
Bukti:
Derajat pembagi polinomial (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) adalah 2, maka sisa pembagiannya berderajat 1 yaitu 𝑠(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 sehingga diperoleh:
Terbukti: sisa (𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 dengan 𝑓(𝑎) = 𝑝𝑎 + 𝑞 dan 𝑓(𝑏) = 𝑝𝑏 + 𝑞.
Anak-anakku agar kita lebih memahami penggunaan teorema sisa untuk pembagi (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) mari kita pahami contoh soal berikut.
Contoh Soal
Suku banyak (𝑥) jika dibagi (𝑥 + 2) sisanya 12 dan jika dibagi (𝑥 – 3) sisanya −3. Tentukan sisanya jika (𝑥) dibagi oleh (𝑥 + 2)(𝑥 – 3) !
Alternatif Penyelesaian:
Pembagi (𝑥 + 2)(𝑥 – 3) berderajat 2, maka sisanya 𝑠(𝑥) berderajat 1.
Misal (𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞
(𝑥) dibagi (𝑥 + 2)(𝑥 – 3), maka dapat ditulis :
(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)∙ℎ(𝑥) + 𝑠(𝑥)
= (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)∙ℎ(𝑥) + (𝑝𝑥 + 𝑞)
(𝑥) dibagi (𝑥 + 2) bersisa 12, maka 𝑓(−2) = 12, sehingga :
Diperoleh persamaan −2𝑝 + 𝑞 = 12 merupakan persamaan (i) (𝑥) dibagi (𝑥 − 3) bersisa −3, maka 𝑓(3) = −3, sehingga:
Diperroleh persamaan 3𝑝 + 𝑞 = −3 merupakan persamaan (ii)
Eliminasi 𝑞 pada persamaan (i) dan (ii) untuk mencari nilai 𝑝.
Substitusi nilai 𝑝 = −3 ke persamaan (i),
Diperoleh sisa pembagian,
Jadi, sisa pembagiannya adalah (𝑥) = −3𝑥 + 6.
“Sumber Informasi”
Thanks for reading Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk (𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃). Please share...!
