Perhitungan di Dalam Segitiga

Rabu, 27 November 2019

2.1  Perhitungan di Segitiga Sebarang

Jika diketahui segitiga sebarang, sekarang kita akan mempelajari teknik menghitungan panjang sisi, potongan garis di dalam segitiga dan besar sudut. Teknik yang dipakai adalah membagi segitiga sebarang menjadi segitiga siku-siku.

2.2  Aturan Kosius dan Sinus

Ada dua rumus yang terkenal (penggunaannya sangat sering), yaitu rumus sinus dan rumus cosinus.

Sifat 2.1  Aturan Kosinus

Pada ∆ ABC dengan sisi a, bc dan sudut α, β, γ (posisi seperti biasa), maka:

               a² = b² + c² – 2bc cos α

               b² = a² + c² – 2ac cos β

               c² = a² + b² – 2ab cos γ

Sifat 2.2  Aturan Sinus

Pada ∆ ABC dengan sisi a, bc dan sudut α, β, γ (posisi seperti biasa), maka:

           

                                          

 

Aturan Pemakaian Aturan Sinus dan Kosinus

Seperti kita ketahui ada beberapa cara membuat sebuah segitiga, yaitu:

a.      tiga sisi diketahui

Gunakanrumus kosinus untuk mencari ukuran salah satu sudut, kemudian dapat menggunakan rumus kosinus yang lain, atau rumus sinus.

b.     dua sisi diketahui

Dalam halam hal ini harus ada satu sudut yang dikehui, misalkan:

(i)  sudut yang diapit

      Gunakan rumus kosinus untuk mencari sisi ketiga.

(ii) sudut lainnya

      Gunakan rumus sinus untuk mencari satu sudut lagi.

c.      satu sisi diketahui

Dalam hal ini harus ada dua sudut yang diketahui (maka ketiga sudut diketahui). Gunakan rumus sinus untuk mencari panjang sisi.

2.3  Bering (Materi Pengayaan)

Bering (bahasa Inggris: Bearing) adalah salah salah satu cara mencari posisi di laut. Salah satu alat yang sangat berguna adalah kompas (jarum penunjuk dengan maknit) yang selalu menunjuk ke arah utara. Oleh karena itu arah utara selalu menjadi acuan. Karena kutub Utara sangat jauh, maka pada setiap titik, arah Utara dianggap sejajar.

Gambar : Bering antara dua titik.

Dengan acuan titik tertentu, posisi suatu titik lain hanya disebutkan dengan besar sudut antara arah utara dengan garis ke arah titik yang lain dihitung dari arah utara searah jarum jam.

Sebagai Contoh, dari titik P, bering titik Q adalah 75ᵒ dan selalu ditulis dengan tiga angka, 075ᵒ. Oleh karena itu ada buku yang menyebut ini sebagai Arah Tiga Angka. Sedangkan dari titik Q, bering titik P adalah 360ᵒ – (180ᵒ – 75ᵒ) = 255ᵒ.

2.4  Luas Segitiga

Luas segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus ½ × alas × tinggi. Jika informasi mengenai ketiga sisi dan ketiga sudut telah diketahui, panjang garis tinggi dengan mudah dapat dihitung. Persoalannya, dapatkan kita menghitung luas segitiga dengan informasi secukupnya, yaitu jika diketahui:

     a.  ketiga sisi segitiga

     b.  dua sisi satu sudut

     c.  satu sisi dan sudut.

2.5  Lingkaran Luar, Dalam dan Lingkaran Singgung

Ada tiga jenis lingkaran masing-masing adalah:

a.     Lingkaran luar segitiga, yaitu lingkaran yang melalui ke tiga titik sudut segitiga.

b.     Lingkaran dalam atau lingkaran singgung, yaitu lingkaran yang menyinggunakan ke tiga sisi segitiga.

c.     Lingkaran singgung luar, yaitu lingkaran yang menyinggunakan salah satu sisi segitiga dan perpanjangan dua sisi lainnya.

Lingkaran Luar

Sifat 2.3 Jari-jari lingkaran luar

Jari-jari lingkaran luar R dari segitiga ABC dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

                          

Dengan L luas segitiga atau menggunakan rumus:

              

Rumus kedua dapat digunakan untuk mencari jari-jari lingkaran luar jika satu sisi dan sudut dihadapannya diketahui.

Seringkali kita lupa apakahatau . Tetapi jika kita tahu bahwa sin tidak berdimensi, maka dengan mudah kita dapat menentukan bahwa.
 

Lingkaran Dalam

Sifat 2.4 Panjang jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga.

Panjang jari-jari lingkaran dalam r segitiga ABC dapat dihitung dengan rumus:

  

Dengan L menyatakan luas segitiga dan s setengah keliling segitiga.

Lingkaran Singgung Luar Segitiga

Sifat 2.5 Panjang jari-jari lingkaran singgung luar.

Panjang jari-jari lingkaran singgung luar segitiga ABC yang menyinggung sisi a (dan perpanjangan sisi iannya), sisi b dan sisi c masing-masing adalah:

             

2.6  Segi n Sebarang dan Segi n Beraturan

Masalah pada segi n, dengan n = 4, 5, 6, ... , dapat kita pindahkan menjadi masalah segitiga yaitu dengan membagi segi n manjadi beberapa segitiga. Sebagai contoh, sudut dalam segi n dapatdihitung sebagai jumlah sudut dalam beberapa segitiga. Demikian pula luas segi n, dengan n = 4, 5, 6 , ... , dapat dihitung melalui luas segitiga.

Segi Empat Tali Busur

Nanti dapat kita lihat, bahwa lingkaran dapat ditentukan melalui tiga titik. Jika diketahui empat titik, tidak harus ada lingkaran yang melalui ke empat titik tersebut. Oleh karena itu segiempat tidak selalu mempunyai lingkaran luar. Segiempat yang mempunyai lingkaran luar disebut segi empat tali busur. Ciri segiempat tali busur adalah jumlah sudut berhadapannya sama dengan 180ᵒ.

Segi n Beraturan

Jika keliling lingkaran dibagi menjadi n sama besar dan kemudian kita bentuk segi n, maka terbentuk segi n beraturan.

Dengan menggunakan pembagian menjadi n segitiga dengan salah satu titik sudutnya adalah pusat linhkaran, kita dapat menghitung berbagai besaran segi n, misalkan besar sudut dalam (∠CAB), keliling, luas dan lain sebagainya.

Sudut di pusat lingkaran dari tiap segitiga adalah 360ᵒ / n. Karena tiap segitiga adalah sama kaki, maka besar sudut kaki di segitiga adalah ½ (180ᵒ – 360ᵒ/n). Sekali lagi, karena tiap segitiga sama dan sebangun, maka besar sudut dalam segi n (Contoh ∠BAC) adalah:

  

                                                           

Jumlah sudut dalam segi n adalah n atau

                                    180ᵒ (n – 2) .

Khususnya, jika n = 3, maka jumlah sudut tersebut adalah 180ᵒ. Panjang sisi segi n dapat dihitung melalui rumus sinus, yaitu:

                              

Rangkuman

a.      Pada segitiga segitiga sebarang selalu dapat kita bagi menjadi beberapa segitiga siku-siku sehingga perhitungan Rumus Phytagoras dapat dilakukan.

b.      Pada segitiga sebarang berlaku dua rumus istimewa yaitu:

(i)  Aturan sinus

      Dengan R jari-jari lingkaran luar segitiga.

(ii) Aturan cosinus

               a² = b² + c² – 2bc cos α

               b² = a² + c² – 2ac cos β

               c² = a² + b² – 2ab cos γ

   dengan a, b, c sisi segitiga dan α, β dan γ sudut dalam segitiga.

c.       Rumus luas segitiga ABC adalah:

                                    

                                       

                                       

Dengan s = ½ (a + b + c).

Rumus kedua luas dapat dibaca sebagai ½ perkalian dua sisi sinus sudut yang diapit.

d.      Jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dihitung melalui rumus:

Dengan.

e.       Jari-jari lingkaran singgung dalam adalah:

f.      Jari-jari lingkaran singgung luar pada sisi a adalah:

Hal serupa untuk lingkaran singgung luar pada sisi b dan sisi c masing-masing adalah:

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Perhitungan di Dalam Segitiga. Please share...!