Definisi 1.1 Perbangdingan Trigonometri
Misalkan
ABC segitiga siku-siku di C
dan α adalah sudut
di A. perbandingan trigonometri di segitiga siku-siku didefinisikan
sebagai:
(dibaca tangen α)
Sifat 1.2 Nilai perbandingan trigonometri
Misalkan
ABC segitiga siku-siku di C dan α salah satu segitiga tersebut, maka:
0
< sin α < 1
0
< cos α < 1
0
< tan α < 1
Definisi 1.3
Tiga perbandingan trigonometri lainnya.
Misalkan α salah satu sudut di segitiga
siku-siku, maka:
1.2 Perbandingan Sudut di
Berbagai Kuadran
1.2.1 Ukuran Sudut
Dengan menggunakan perbandingan, satu derajat berkaitan
dengan:
1 /
360 putaran
Dan sebarang sudut α
derajat berkaitan dengan:
α / 360 putaran.
1.2.2 Perbandingan
Trigonometri Untuk Sebarang Sudut
Definisi 1.4 Perbandingan trigonometri sudut sebarang
Misalkan
diketahui langkaran berpusat di 0 dan berjari-jari r. Selanjutbya,
misalkan α sudut yang
dibentuk antara sumbu X positif dengan garis yang memotong lingkaran di
titik P(x, y. Perbandingan trigonometri sudut α didefinisikan
sebagai:
x
= r cos α atau cos
α = x / r
y
= r sin α atau sin
α = y / r
sedangkan perbandingan trigonometri yang
didefinisikan sebagai:
tan
α = sin α / cos α sec α =
1 / cos α
cot
α = 1 / tan α cosec
α = 1 / sin α
jika penyebut tak sama dengan nol.
1.2.3 Tanda Perbandingan Trigonometri di Berbagai
Kuadran
Berdasarkan
arti perbandingan trigonometri maka:
a.
Tanda untuk sin sama dengan tanda koordinat y.
b.
Tanda untuk cos sama dengan tanda koordinat x.
c.
Tanda untuk tan sama dengan tanda dari pembagian
sinus dan cosinus.
Atau dalam tabel
berikut
Perbandingan
|
Di kuadran
|
|||
I
|
II
|
III
|
IV
|
|
x
|
positif
|
negatif
|
negatif
|
positif
|
y
|
positif
|
positif
|
negatif
|
negatif
|
sin α = y / r
|
positif
|
positif
|
negatif
|
negatif
|
cos α = x / r
|
positif
|
negatif
|
negatif
|
positif
|
Dan tanda lainnya dapat ditentukan berdasarkan definisinya.
1.2.4 Rumus Perbandingan
Trigonometri dari Sudut Berelasi
Sudut di Kuadran II
Sifat 1.5 Perbandingan trigonometri sudut di kuadran II
Untuk
sudut di kuadran II berlaku:
sin (180ᵒ – α) = sin α cos
(180ᵒ – α) = – cos α
Sudut di
Kuadran III
sifat
1.6 Perbandingan trigonometri sudut di
kuadran III
Untuk sudut dikuadran III
berlaku
sin (180ᵒ + α) = – sin α cos
(180ᵒ + α) = – cos α
Sudut di
Kuadran IV
sifat
1.7 Perbandingan trigonometri sudut di
kuadran IV
Untuk sudut dikuadran IV
berlaku
sin (360ᵒ – α) = sin α cos
(360ᵒ – α) = – cos α
Rumus untuk sudut dengan bentuk α + n ∙ 360ᵒ
Bentuk
sudut tidak berubah jika ditanbah satu putaran penuh, dua putaran penuh dan
seterusnya. Misalkan α sebarang
sudut ditambah n putaran dengan n menyatakan bilangan bulat.
Hasil perputaran ini dapat dinyatakan dengan α + n ∙ 360ᵒ. Karena sudut ini sama
dengan sudut α, maka:
sin (α + n ∙ 360ᵒ) = sin α cos
(α + n ∙ 360ᵒ) = cos
α
Sifat
1.9 Perbandingan trigonometri sudut di
kuadran II
Untuk sudut dikuadran II
berlaku
sin (90ᵒ + α) = cos α cos
(90ᵒ + α) = – sin α
Sifat
1.10 Perbandingan trigonometri sudut di
kuadran III
Untuk sudut dikuadran III
berlaku
sin (270ᵒ – α) = – cos α cos
(270ᵒ – α) = – sin α
Sifat
1.10 Perbandingan trigonometri sudut di
kuadran IV
Untuk sudut dikuadran IV
berlaku
sin (270ᵒ + α) = – cos α cos
(270ᵒ + α) = sin α
Sudut
Negatif
Jika α sudut diketahui, maka sudut – α dapat
diperoleh melalui pencerminan terdapat sumbu X. Tetapi, sudut – α akan
sama dengan – α + n ∙ 360ᵒ yaitu ditambah satu putaran. Jadi:
sin (– α) = sin (360ᵒ – α) = – sin α
cos (– α) = cos (360ᵒ – α) = cos α
1.3 Koordinat Kutub/Polar
1.3.1 Hubunganantara Kootdinat Kutub dan Koordinat
Kartesius
Sifat 1.13 Koordinat Kartesius dari koordinat kutub
Jika koordinat kutub titik P adalah (r,
θ), maka koordinet Kartesiusnya adalah:
x
= r cos θ dan y = r sin θ
Sifat 1.14 Koordinat kutub dari koortesius
Jika koordinat Kartesius titik P adalah
(x, y), maka koordinat kutubnya dapat dihitung dengan persamaan:
1.4 Hubungan antara Perbandingan Trigonometri
Maka kita
mempunyai:
cos2 θ + sin2
θ = 1
Hubungan
berikut harap diingat (untuk penyebut tak sama dengan nol).
1.5 fungsi Trigonometri
1.5.1 Ukuran Radian
Definisi
1.15 Ukuran radian
Sudut α berukuran 1 radian (ditulis 1 rad) jika sudut
tersebut terletak pada pusat lingkaran berjari-jari satu (satuan panjang) dan
panjang busur dihadapannya mempunyai satu satuan panjang pula.
Sifat 1.16 Hubungan antara ukuran sudut dan radian
Sudut dalam derajat dan radian memenuhi
hubungan
Nilai π berkaitan dengan 3, 14....
Sifat 1.17 Panjang busur dihadapan sudut
Panjang busur dihadapan sudut α yang terletak
di pusat lingkaran berjari-jari R adalah:
1.5.2 Fungsi Trigonometri
Grafik Fungsi
Sinus
Grafik Fungsi
Cosinus
Grafik Fungsi
Tangen
1.6 Persamaan Trigonometri
Sifat 1.18 Jawab persamaan
sinus
Himpunan
jawab persamaan
sin x = sin α
adalah
{x
∣ x = α + 2kπ, (π – α) + 2kπ dengan k
bilangan bulat}
Sifat 1.19 Jawab persamaan cosinus
Himpunan
jawab persamaan
cos x = cos α
adalah
{x
∣ x = α + 2kπ, –α + 2kπ dengan k menyatakan bilangan
bulat}
Sifat 1.20 Jawab persamaan tangen
Himpunan
jawab persamaan
tan x = tan α
adalah
{x
∣ x = α + 2kπ, dengan k menyatakan bilangan bulat}
Menghitung
perbandingan trigonometri dengan kalkulator
Sifat 1.21 Jawab kalkulator untuk sinus
Jawab kalkulator untuk persamaan
sin α = p
dengan – 1 ≤ p ≤ 1 adalah sudut dengan
ukuran α0, – 90ᵒ ≤ α0
≤ 90ᵒ
atau – π/2 ≤ α0 ≤ π/2.
Jawab lengkappersamaan adalah
α0
+ 2kπ dan (π – α0)
+ 2kπ
Sifat 1.22 Jawab kalkulator untuk cosinus
Jawab kalkulator untuk persamaan
cos α = p
dengan – 1 ≤ p ≤ 1 adalah sudut dengan
ukuran α0, 0 ≤ α0 ≤ 180ᵒ
atau 0 ≤ α0 ≤ π.
Jawab lengkappersamaan adalah
α0
+ 2kπ dan – α + 2kπ
Sifat 1.23 Jawab kalkulator untuk tangen
Jawab kalkulator untuk persamaan
tan α = p
dengan p bilangan real adalah ukuran α0,
– 90ᵒ ≤ α0 ≤ 90ᵒ
atau – π/2 ≤ α0 ≤ π/2.
Jawab lengkappersamaan adalah
α0
+ kπ
1.6.1 Pertidaksamaan
a. Gambarkan jawab
persamaan pada bilangan.
b. Kemudian, kita
coba satu titik di antara dua jawab persamaan tersebut, misalkan di antara π/6 dan 5π/6. Dengan hal ini kita pilih π/2
atau atau titik lainnya. Kita tahu bahwa sin π/2 = 1, jadi sin π/2 – ½ > 0
atau positif.
c. Kemudian, tanda daerah lain ditentukan
berdasarkan aturan bahwa tanda tersebut berubah dari positif ke negatif dan
negatif ke positif. Bandingkan hal ini dengan tanda dari fungsi kuadrat yang tidak
mempunyai akar kembar.
d. Terakhir, untukvmenetunkan jawab kita pilih
sesuai dengan tanda yang ada yaitu < 0 atau negatif. Jawab dari pertidaksamaan
ini sesuai dengan uraian di atas yaitu:
{x ∣ 5π/6 + 2kπ < x < π/6 + 2(k
+ 1) π, k bilangan bulat}
Sumber
Labels:
Matematika
Thanks for reading Perbandingan Trigonometri dan Fungsi Trigonometri. Please share...!
