A. Pengertian Suku Banyak
Bentuk umum suku banyak dalam peubah/variabel x yang berderajat n
adalah:
an
xn + an – 1 xn – 1 + ... + a2
x2 + a1 x + a0
dengan:
· an,
an – 1, ... , a2, a1, a0 adalah
bilangan-bilangan real dengan an ≠ 0.
An adalah koefisien dari xn,
an – 1 adalah koefisien dari xn – 1, ... , demikian seterusnya.
· a0
disebut suku tetap
· pangkat
tertinggi dari x yaitu n merupakan derajat tertinggi suku banyak tersebut.
B. Nilai Suku Banyak
Suatu suku banyak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi f(x), yaitu:
f(x) =
an xn + an – 1 xn – 1 + ... + a2
x2 + a1 x + a0
Jika suatu suku banyak dinyatakan sebagai fungsi f(x), maka nilai
suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k).
Ada cara untuk menentukan nilai dari f(k) ini, yaitu metode
substitusi dan sintetik.
1. Metode Substitusi
Cara menentukan nilai suatu suku banyak dengan metode substitusi
adalah sebagai berikut.
Nilai suku banyak
f(x) =
an xn + an – 1 xn – 1 + ... + a2
x2 + a1 x + a0
untuk x = k
ditentukan oleh
f(k) =
an (k)n + an – 1 (k)n – 1 + ... + a2
(k)2 + a1 (k) + a0
2. Metode Sintetik
Misalkan kita akan menentukan suku banyak
f(x) =
a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1
x + a0
untuk x = k.
Dengan metode substitusi, nilai suku banyak f(x) untuk x = k
ditentukan oleh:
f(k)
= a4 k4 + a3 k3 + a2 k2 + a1
k + a0
⇔ f(k)
= (a4 k3 + a3
k2 + a2
k + a1) k + a0
⇔ f(k)
= ((a4 k2 + a3
k + a2)
k + a1) k + a0
⇔ f(k)
= (((a4 k + a3) k + a2) k + a1) k +
a0
Bentuk di atas dapat kita nyatakan dalam langkah-langkah sebagai
berikut.
1.
Kalikan
a4 dengan k, kemudian jumlahkan hasilnya dengan a3.
a4 k4 + a3
2.
Kalikan
hasil pada langkah 1 dengan k, kemudian jumlahkan hasilnya dengan a2.
(a4 k + a3) k + a2
3.
Kalikan
hasil pada langkah 2 dengan k, kemudian jumlahkan hasilnya dengan a1.
((a4 k + a3) k + a2) k + a1
4.
Kalikan
hasil pada langkah 3 dengan k, kemudian jumlahkan hasilnya dengan a0.
(((a4 k + a3)
k + a2)
k + a1) k + a0
Hasil terakhir adalah a4 k4 + a3 k3
+ a2 k2 + a1 k + a0
Menetukan nilai suku banyak seperti di atas dinamakan metode
sintetik.
Secara bagan/skema dapat digambarkan sebagai berikut.
Pada bagan/skema di atas,
1.
Baris
pertama sebelah kanan garis tegak memuat koefisien setiap perpangkatan dari x
disusun dari koefisien pangkat tertinggi sama sampai dengan koefisien pangkat
terendah.
2.
Setiap
panah menunjukkan operasi perkalian dengan k.
C. Pembagian Suku Banyak
Seperti pada bilangan, kita juga dapat melakukan operasi pembagian
pada suatu suku banyak. Hubungan umum antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi
dan sisa pembagian adalah sebagai berikut.
Yang
dibagi = pembagi ×
hasil bagi + sisa pembagi
1. Pembagian Suku Banyak dengan Pembagi
Berbentuk (x – k)
Kita dapat melakukan pembagian dengan
menggunakan cara sintetik (Cara Horner).
Misalkan diketahui suku banyak f(x) = a4 x4 + a3 x3
+ a2 x2 + a1 x + a0
dibagi dengan (x – k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S. Hubungan antara
suku banyak yang dibagi f(x) dengan pembagi (x – k), banyak hasil bagi H(x),
dan sisa pembagian S adalah sebarikut.
f(x) =
(x – k). H(x) + S
Untuk memperoleh hasil bagi dan sisa pembagian kita gunakan cara
sintetik berikut ini.
Oleh karena f(x) berderajat 4 dan (x – k) berderajat 1, maka hasil
bagi H(x) berderajat 3 dan sisa pembagian S adalah sebuah konstanta.
Dengan demikian,
H(x) = a4 x3
+ (a4 k + a3) x2
+ a4 k2 + (a3 k + a2) x + (a4
k3 + a3 k2 + a2 k + a1)
S = a4 k4
+ a3 k3 + a2 k2 + a1
k + a0
* Jika
pembaginya berbentuk (x + k), maka nilai k harus diganti dengan – k.
2. Pembagian Suku Banyak dengan Pembagi Berbentuk (ax + b)
Bentuk (ax + b) dapat diubah menjadi.
x +
b/a
jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x + b/a) maka diperoleh hasil
bagi H(x) dan sisa pembagi S, yang mempunyai hubungan.
f(x) =
(x + b/a) H(x) + S
Hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S dapat ditentukan dengan cara
sintetik, dengan terlebih dahulu menganti nilai k dengan – b/a.
Hubungan diatas dapat diubah bentuknya menjadi.
f(x) =
(x + b/a) H(x) + S
f(x) =
1/a (ax + b) H(x) + S
f(x) =
(ax + b) H(x)/a + S
Dengan demikian, pembagi suku banyak f(x) dengan (ax + b)
memberikan hasil bagi H(x)/a dan sisa pembagian S.
* Jika
pembagi berbentuk (ax – b), maka nilai k harus diganti dengan b/a.
3. Pembagian Suku Banyak dengan
Pembagi Berbentuk ax2 + bx + c
Apabila suku banyak f(x) dibagi
dengan ax2 + bx + c (dengan a ≠ 0), maka hasil
bagi dan sia pada pembagi suku banyak itu dapat ditentukan dengan cara pembagi
bersusun pendek.
Jika suku banyak yang dibagi
berderajat n dan pembaginya berderajat m, maka diperoleh:
a.
Hasil
bagi berderajat n – m.
b.
Sisa
pembagian berderajat m – 1 (derajat dari sisa pembagian kurang satu dari
derajat pembagi).
D. Teorema Sisa
1. Pembagi Berbentuk (x – k)
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (x – k), maka akan
diperoleh hasil bagi H(x) dan sisa pembagi S, yang mempunyai hubungan.
f (x)
= (x – k). H(x) + S
Karena suku banyak pembagi yaitu yaitu (x – k) berderajat 1, maka
sisa pembagi S maksimum berderajat nol, yaitu sebuah konstanta. Sisa pembagian
S dapat ditentukan dengan menggunakan oleh S = f(x).
2. Pembagi Berbentuk
Pembagian suku banyak f(x) oleh (ax + b) memberikan hasil bagi
H(x)/a dan sisa pembagian S, yang mempunyai hubungan:
f(x) =
(ax + b) H(x)/a + S
sisa pembagian S ditentukan menggunakan teorema berikut ini.
Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b), maka
sisa pembagian S ditentukan oleh:
S = f
( – b/a)
3. Pembagi Berbentuk (x – a) (x – b)
Pembagian suku banyak f(x) oleh suku banyak (x – a) (x – b)
memberikan hasil bagi H(x) dan sisa pembagi S(x), yang mempunyai hubungan:
f(x) =
(x – a) (x – b) H(x) + S(x)
Karena (x – a) (x – b) berderajat 2, maka sisa pembagiannya
maksimum berderajat 1. Misalkan S(x) = px + q, maka hubungan di atas menjadi:
f(x) =
(x – a) (x – b) H(x) + (px + q)
E. Teorema Faktor
Teorema faktor menyatakan bahwa:
Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari
f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0.
Menetukan Faktor-faktor suatu Suku Banyak
Faktor-faktor dari suatu suku banyak dapat ditentukan dengan
langkat-langkat berikut.
1.
Jika
f(x) = an xn + an – 1 xn – 1 + ...
+ a2 x2 + a1 x + a0 dan (x – k)
merupakan suatu faktor dari f(x), maka nilai k yang mungkin adalah
faktor-faktor bulat dari a0.
2.
Dengan
cara mencoba, substitusikan nilai-nilai x = k (yang diperoleh) sehingga
diperoleh f(x) = 0 maka (x – k) adalah faktor dari f(x), sedangkan jika f(k) ≠ 0 maka (x – k)
bukan faktor dari f(x).
3.
Setelah
diperoleh sebuah faktor, maka faktor-faktor yang lain dapat ditentukan dari
suku banyak hasil bagi f(x) oleh (x – k).
F. Akar-akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak
Persamaan suku banyak an xn + an – 1 xn
– 1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0
= 0 dapat diselesaikan dengan cara mencar nilai pengganti x yang memenuhi
persamaan itu. Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan suku banyak di atas
dinamakan penyelesaian atau akar persamaan suku banyak tersebut.
Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari
f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0.
Misalkan f(x) = an xn + an – 1 xn
– 1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0
= 0 adalah sebuah persamaan suku banyak. Akar-akar persamaan suku banyak f(x) =
0 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut.
1. Tentukan
akar-akar yang mungkin dari persamaan suku banyak f(x) = 0, yaitu m/n, m adalah
faktor bulat positif dari a0 dan n adalah faktor bulat dari an.
2. Dari
akar-akar yang diperoleh pada langkah 1, akar-akar yang sebenarnya harus
memenuhi syarat f(m/n) = 0.
Sumber
Labels:
Matematika
Thanks for reading Suku Banyak - 1. Please share...!
