A. Pengertian
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut
jari-jari (r) dan titik tertentu itu disebut pusat lingkaran. Berikut ini
adalah lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari r.
B. Persamaan Lingkaran
1. Persamaan Lingkaran
Gambar di samping adalah sebuah lingkaran dengan pusat di titik
O(0,0) dan jari-jari r. Titik P (x, y) adalah sebuah titik pada lingkaran.
Dari gambar, diperoleh persamaan:
OP = r
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di O dan
berjari-jari r, yaitu:
x² + y² = r²
Suatu titik A (x₁, y₁) dikatakan:
a. Terletak pada lingkaran
x² + y² = r² ⇔ x₁² + y₁² = r²
b. Terletak pada di dalam lingkaran
x² + y² = r² ⇔ x₁² + y₁² ˂ r²
c. Terletak pada di luar lingkaran
x² + y² = r² ⇔ x₁² + y₁² ˃ r²
2. Persamaan Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari
Gambar di samping adalah sebuah lingkaran dengan pusat di P(a, b)
dan berjari-jari r.titik Q(x, y) adalah sebuah titik pada lingkaran.
Dari gambar di peroleh persamaan:
OP = r
Sehinggadiperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di P(a, b) dan
berjari-jari r, yaitu:
(x – a)² + (y – b)² = r²
Suatu titik A (x1, y1) dikatakan:
a. Terletak pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² ⇔ (x1 –
a)² + (y₁ – b)² = r²
b. Terletak pada di dalam lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² ⇔ (x1 –
a)² + (y₁ – b)² ˂ r²
c. Terletak pada di luar lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² ⇔ (x1 –
a)² + (y₁ – b)² ˃ r²
3. Persamaan Umum Lingkaran
Bila kita menjabarkan persamaan:
(x –
a)² + (y – b)² = r²
Dan mengatur kembali suku-sukunya, maka akan diperoleh:
(x –
a)² + (y – b)² = r²
⇔ x² –
2ax + a² + y² – 2by + b² = r²
⇔ x² +
y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
Persamaan terakhir dapat pula dinyatakan dengan
x² + y² + Ax +
By + C = 0
dengan A = –2a ⟶ a =
– ½ A
B =
–2b ⟶ a =
– ½ B
C = x² + y² – r² ⟶
Persamaan (3) merupakan persamaan lingkaran dengan pusat di
(– ½ A, – ½ B) dan berjari-jari
.
C. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Seperti pada pembahasan sebelumnya, lingkaran dengan
persamaanberbentuk:
x² + y² + Ax +
By + C = 0
mempunyai pusat di (– ½ A, – ½ B) dan jari-jari
.
.
D. Perpotongan Garis dan Lingkaran
Pandang lingkaran dengan persamaan:
x² + y² + Ax +
By + C = 0 ....................... (1)
dan garis h dengan persamaan:
y = mx
+ n
.................................................... (2)
Jika persamaan (2) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh:
x² + (mx + n)² +
Ax + B (mx + n) + C = 0
⇔ x² +
m² x² +
2mn x + n² + Ax + Bn + C = 0
⇔ (1 + m²)
x² + (2mn + A +
Bm) x + (n² + Bn + C) = 0 ..... (3)
Diskriminan dari persamaan (3) adalah:
D =
(2mn + A + Bm)² − 4 (1 +
m²) (n² + Bn + C)
Sehingga ada 3 kemungkinan hubungan garis dengan lingkaran, yaitu:
1. Garis h tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran ⇔ D ˂ 0.
2. Garis h menyinggng lingkaran ⇔ D = 0.
3. Garis h memotong lingkaran ⇔ D ˃ 0.
E. Persamaan
Garis Singgung Lingkaran
1. Garis
Singgung Lingkaran Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran
Persamaan garis
singgung melalui titik P(x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² = r²
ditentukan dengan rumus:
x₁.x + y₁.y = r²
Persamaan garis singgung melalui titik P(x₁, y₁) pada
lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² ditentukan dengan rumus:
(x –
a) (x₁ – a) + (y – b) (y₁ – b) = r²
Persamaan garis singgung melalui titik P(x₁, y₁) pada lingkaran x²
+ y² + Ax + By + C = 0 ditentukan dengan rumus:
x₁ . x + y₁ . y + ½ A (x
+ x₁) +
½ B (y + y₁) +
C = 0
2. Garis Singgung dengan Gradien yang diketahui
Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran x² + y² = r² maka
persamaan garis singgungnya adalah:
Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran (x – a)² + (y – b)² =
r², maka persamaan garis singgungnya adalah:
3. Garis Singgung Melalui Sebuah Titik di Luar Lingkaran
Dari suatu titik P (x₁, y₁) yang
terletak di luar lingkaran dapat dibentuk dua garis singgung.
Persamaan umum garis singgung lingkaran melalui sebuah titik P (x₁, y₁) yang
terletak di luar limgkaran adalah:
y – y₁
= m (x – x₁) .........................................................
*)
Langkah menetukan gradien (m) persamaan *) adalah sebagai berikut.
1. Substitusikan
persamaan y – y₁ = m (x – x₁)
ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat.
2. Dengan
mengambil nilai D = 0, maka akan diperoleh nilai m.
Sumber
Labels:
Matematika
Thanks for reading Lingkaran - 1. Please share...!
