Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers - 1

Jumat, 08 November 2019

A. Relasi Fungsi

1. Produk Cartesius

Jika A dan B masing-masing menyatakan yang tidak kosong, maka produk Castesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) dengan x ∈ A dan y ∈ B, ditulis:

                        A × B = {(x, y) ∣ x ∈ A dan y ∈ B}

Pasangan terurut (x, y) mengandung arti x sebagai urutan pertama dan y sebagai urutan kedua.

Misalkan A = {a,b,c} dan B = {1,2}, maka:

A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

B × A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

2. Relasi

Jika A × B adalah produk Catresius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari himpanan A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk cartesius A × B. Misalkan A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}, maka R = {(a, 1), (b, 2), (c, 1)} merupakan salah satu relasi dari himpanan A ke B.

Suatu relasi R = {(x, y) ∣ x ∈ A dan y ∈ B} yang berupa pasangan terurut dapat pula ditulis dengan menggunakan:

A. Diagram panah

B. Grafik pada bidang Cartesius

3. Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau pemetaan dari himpanan A ke himpanan B merupakan relasi khusus, yaitu relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Misalkan f adalah suatu fungsi atau pemetaan dari himpanan A ke himpanan B, maka fungsi f dinotasikan dengan:

                        f : A ⟶ B

Jika a ∈ A, b ∈ B, dan fungsi f memasangkan a dengan b, maka b disebut peta atau bayangan dari a.

Pada fungsi f : A ⟶ B, himpanan A disebut daerah asal (domain) fungsi f, dinotasikan dengan D_f. Himpanan B disebut daerah kawan (kodomain) fungsi f, dilambangkan dengan K_f. Himpanan semua peta A di B disebut daerah hasil (range) fungsi f, dilambangkan R_f.

B. Fungsi Komposisi

Apabila f suatu fungsi dari A ke B (f : A ⟶ B) dan g suatu fungsi dari B ke C (g : B ⟶ C), maka h suatu fungsi dari A ke C (h : A ⟶ C) disebut fungsi komposisi, dan dinyatakan dengan h = g ∘ f (dibaca: g bundaran f).

Dari diagram panah di atas diperoleh urutan fungsi komposisi h, yaitu:

            H = g ∘ f atau h(x) = (g ∘ f) (x) = g(f(x))

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

1.      Operasi komposisi pada fungsa-fungsi umumnya tidak komutatif

(g ∘ f) (x) ≠ (f ∘ g) (x)

2.      Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif

(f ∘ (g ∘ h)) (x) = {(f ∘ g) ∘ h} (x)

3.      Terdapat fungsi identitas I (x) = x sedemikian sehingga

(f ∘ I) (x) = (I ∘ f) (x) = f (x)

C. Fungsi Invers

Apabila fungsi f : A ⟶ B dinyatakan dengan pasangan berurutan f : {(x, y) ∣ x ∈ A dan y ∈ B}, maka invers fungsi f adalah f ⁻¹ : B ⟶ A dan dinyatakan sebagai f ⁻¹ : {(y, x) ∣ y ∈ B dan x ∈ A}.

Apabila f adalah fungsi dari himpunan B, maka invers fungsi f adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A. hal ini berarti invers suatu fungsi tidak selalu merunakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupanakan fungsi, maka invers tersabut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula.

Syarat agar Invers suatu Fungsi merupakan Fungsi Invers

Fungsi f mempunyai fungsi invers f ⁻¹ jika dan hanya jika f merupakan fungsi (korespondensi satu-satu).

Menentukan Rumus Fungsi Invers

Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers f ⁻¹ bila rumus fungsi f (x) telah diketahui sebagai berikut.

1. Mengubah persamaan y = f (x) dalam bentuk x sebagai fungsi y.

2. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan f ⁻¹ (x).

3. Mengganti y pada f ⁻¹ (y) dengan x, sehingga diperoleh f ⁻¹ (x).

D. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

Apabila fungsi komposisi dari fungsi f dan g adalah fungsi h, ditulis h = f ∘ g, maka fungsi invers dari fungsi komposisi adalah h⁻¹ = (f ∘ g) ⁻¹.

Perhatikan gambar berikut:

Dari diagram di samping diperoleh bahwa:

                        (f ∘ g) ⁻¹ = g ⁻¹ ∘ f ⁻¹

Rumus fungsi invers dari fungsi komposisi yang lain adalah:

                        (g ∘ f) ⁻¹ = f ⁻¹ ∘ g ⁻¹

                        (f ∘ g ∘ h) ⁻¹.) ⁻¹ = h ⁻¹ ∘ g ⁻¹ ∘ f ⁻¹

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers - 1. Please share...!