Transformasi Geometri - 1

Minggu, 17 November 2019

A. Pergeseran atau Translasi

Pergeseran atau translasi adalah suatu tranformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tentu. Jarak dan arah tertentu tersebut dapat diwakili oleh suatu ruas garis garis berarah atau oleh suatu pasangan bilangan terurut 

 dinamakan komponen translasi.

Jika translasi memetakan titik P′ (x′, y′) maka berlaku hubungan

                        x′ = x + a dan y′ = y + b.

Secara pemetaan dapat dituliskan:

Titik P′disebut bayangan titik P oleh translasi .

B. Pencerminan atau Refleksi

Pencerminan atau refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Pencerminan dilambangkan dengan M_a, dimana a adalah sumbu cermin.

Sifat-sifat pencerminan adalah:

1. Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan.

2. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin.

1.      Pencerminan Terhadap Sumbu X

Jika titik P (x, y) dicerminankan terhadap sumbu X, maka bayangannya adalah titik P′ (x′, y′) dengan x′ = x dan y′ = – y.

Hubungan di atas dapat ditulis

                  M_x : P (x′, y′) ⟶ P′ (x′, y′) = P′ (x, – y)

Pemetaan P (x, y) ⟶ P′ (x′, y′) dapat pula ditentikan oleh persamaan matriks

                 

Matriksdinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu X.

2.      Pencerminan Terhadap Sumbu Y

Jika titik P (x, y) dicerminankan terhadap sumbu Y, maka bayangannya adalah titik P′ (x′, y′) dengan

                  x′ = – x dan y′ = y.

Secara pemetaan dapat ditulis:

                  M_y : P (x′, y′) ⟶ P′ (x′, y′) = P′ ( – x, y)

Dengan persamaan matriks, pemetaan di atas ditulis menjadi:

       

Matriksdinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu Y.

3.      Percerminan Terhadap Pada Asal O(0, 0)

Jika titik P (x, y) dicerminankan terhadap titik asal O(0, 0), maka bayangannya adalah titik P′ (x′, y′) dengan

                  x′ = – x dan y′ = – y.

Secara pemetaan dapat ditulis:

                  M_o : P (x′, y′) ⟶ P′ (x′, y′) = P′ ( – x,  – y)

Dengan persamaan matriks, pemetaan di atas ditulis menjadi:

Matriksdinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap titik asal O(0, 0).

4.      Pencerminan Terhadap Garis y = x

Jika titik P (x, y) dicerminankan terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah titik P′ (x′, y′) dengan

                  x′ = x dan y′ = y.

Secara pemetaan dapat ditulis:

                  M_{y = x}  : P (x, y) ⟶ P′ (x′, y′) = P′ (y, x)

Dengan persamaan matriks, pemetaan di atas ditulis menjadi:

  

Matriksdinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = x.

5.      Pencerminan Terhadap Garis y = – x

Jika titik P (x, y) dicerminankan terhadap garis y = – x, maka bayangannya adalah P′ (x′, y′) dengan

                  x′ = – y dan y′ = – x

Secara pemetaan dapat ditulis:

                  M_{y =  – x}   : P (x′, y′) ⟶ P′ (x′, y′) = P′ ( – y, – x)

Dengan persamaan matriks, pemetaan di atas ditulis menjadi:

  

Matriksdinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = – x.

6.      Pencerminan Terhadap Garis x = h

Jika titik P (x, y) dicerminankan terhadap garis x = h, maka bayangannya adalah P′ (x′, y′) dengan

                  x′ = 2h – x dan y′ = y.

Secara pemetaan ditulis:

                  M_{x = h} : P (x, y) ⟶ P′ (x′, y′) = P′ (2h – x, y)

7.      Pencerminan Terhadap Garis y = k

Jika titik P (x, y) dicerminankan terhadap garis y = k, maka bayangannya adalah P′ (x′, y′) dengan

                  x′ = x dan y′ = 2k – y.

Secara pemetaan ditulis:

                  M_{y = k} : P (x′, y′) ⟶ P’ (x, y) = P′ (x′, 2k – y)

8.      Pencerminan Terhadap Titik (a, b)

Jika titik P (x, y) dicerminankan titik (a, b), maka bayangannya adalah P′ (x′, y′) dengan

                  x′ = 2a – x dan y′ = 2b – y.

Secara pemetaan ditulis:

                  M_{(a, b)} : P (x, y) ⟶ P′ (x′, y′) = P′ (2a – x, 2b – y)

C. Perputaran atau Rotasi

Perputaran atau Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejuah θ terhadap suatu titik pusat rotasi.

Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh:

1. Titik pusat rotasi

2. Besar sudut rotasi

3. Arah sudut rotasi

Sudut rotasi adalah sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan pusat rotasi dengan garis yang menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi.

Jika θ (sudut rotasi) positif, arah putaran (rotasi) berlawanan dengan arah putaran jam. Sebaliknya jika θ negatif, arah putaran searah dengan arah putaran jam.

Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi θ dinotasikan dengan R(P, θ).

1.      Rotasi Terhadap Titik Pusat O (0, 0)

Jika titik P(x, y) diputar sebesar θ berlawanan arah putaran jam terhadap titik pusat O (0, 0), maka diperoleh bayangan P′ (x′, y′) dengan:

                  x′ = x cos θ – y sin θ

                  y′ = x sin θ + y cos θ

Secara pemetaan ditulis:

      R (O, θ) : P(x, y) ⟶ P(x′, y′) = P′ (x cos θ – y sin θ, x sin θ + y cos θ)

Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis:

  

Matriksdinamakan matriks yang bersesuian dengan rotasi R (O, θ).

Berikut ini adalah bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi:

P(x, y) ⟶ P(x′, y′)

  

2.      Rotasi Terhadap Titik Pusat A (a, b)

Jika titik P (x, y) diputar sejauh θ berlawanan dengan arah putaran jam terhadap titik pusat A (a, b), maka bayangannya adalah P′ (x′, y′) dengan:

                  x′ – a = (x – a) cos θ – (y – b) sin θ

                  y′ – b = (x – a) sin θ + (y – b) cos θ

Dengan persamaan matriks, hubungan di atas dapat ditulis:

                 

D. Perkalian atau Dilatasi

Persamaan atau dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilasi atau faktor skala dan titik tertentu itu dinamakan pusat dilatasi.

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu dilatasi ditentukan oleh:

1. Faktor skala ( k ), dan

2. Pusat dilatasi.

Jika yang didilatasikan suatu bangun, maka dilatasi akan mengubah ukuran tanpa menpa mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi yang berpusat di P dengan faktor skala k dinotasikan dengan [P, K].

Berdasarkan nilai dari faktor skala k, bangun bayangan yang diperoleh dapat ditentukan sebagai berikut:

a.      Jika k > 1, bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun samula.

b.     Jika 0 < k < 1, bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semua.

c.      Jika – 1 < k < 0, bangun bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semua.

d.     Jika k < – 1, bangun bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semua.

1. Dilatasi Terhadap Titik Pusat O (0, 0)

Jika titik P (x, y) didilatasikan terhadap titik pusat O (0, 0) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P′ (x′, y′) dengan:

                        x′ = kx dan y′ = ky

Secara pemetaan dapat ditulis:

                  [O, k] : P (x, y) ⟶ P′ (kx, ky)

Dengan persamaan matriks, pemetan di atas dapat ditulis:

 Matriksdinamakan matriks yang bersesuaian dengan diletasi [O, k].

2. Dilatasi Terhadap Titik Pusat A (a, b)

Jika titik P(x, y) didilatasikan terhadap titik pusat A (a, b) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P′ (x′, y′) dengan:

                        x′ – a = k (x – a) dan y′ – b = k ( y – b)

Dengan persamaan matriks, hubungan di atas dapat ditulis:

 

E. Transformasi oleh Suatu Matriks

Jika suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks mantranformasikan titik A (x, y) ke A (x′, y′), maka hubungan antara koordinat A dan A′ dinyatakan dengan persamaan matriks:

F. Komposisi Transformasi

Komposisi transformasi adalah pengerjaan dua atau lebih transformasi secara berurun.

Transformasi T₁ dilanjutkan dengan transformasi T₂ terhadap suatu titik A dapat ditulis:

                        (T₂ ∘ T₁) (A)  ⟶ T₂ (T₁(A)).

Sebaliknya T₁ ∘ T₂ (BACA: T₁ komposisi T₂) berarti transformasi T₂ dilanjutkan dengan T₁.

                        (T₁ ∘ T₂) (A)  ⟶ T₁ (T₂(A)).

1. Komposisi Transformasi

Jika transformasimaka komposisi translasi T₁ dan T₂ dapat diwakili oleh sebuah translasi tunggal yang ditentukan oleh

Sifat-sifat komposisi translasi:

1. Untuk dua translasi berurutan berlaku T₁ ∘ T₂ = T₂ ∘ T₁ (komutati)

2. Untuk tiga translasi berurutan berlaku (T₁ ∘ T₂) ∘ T₃ = T₁ ∘ (T₂ ∘ T₃) (asosiatif).

2. Komposisi Refleksi

a.      Komposisi Dua Refleksi terhadap Dua Sumbu Sejajar

1. Dua sumbu sejajar yang sajajar terhadap sumbu X

Misalkan titik P (x′, y′) dicerminkan terhadap garis y = a, kemudian dicerminkan terhadap garis y = b, maka diperoleh bayangan P′′ (x, 2(b – a) + y).

Secara pemetaan dapat dituliskan:

                  M_{y = b} ∘ M_{y = a} : P(x, y) ⟶ P" (x, 2(b – a) + y)

Misalkan titik P (x, y) dicerminkan terhadap garis y = b, kemudian dicerminkan terhadap garis y = a, maka diperoleh bayangan P" (x, 2(a – b) + y).

Secara pemetaan dapat dituliskan:

                  M_{y = a} ∘ M_{y = b} : P(x, y) ⟶ P" (x, 2(a – b) + y)

2. Dua sumbu sejajar yang terhadap sumbu Y

Misalkan titik P (x′, y′) dicerminkan terhadap garis x = m, kemudian dicerminkan terhadap garis x = n, maka diperoleh bayangan P′′ (2(n – m) + x, y).

Secara pemetaan dapat dituliskan:

                  M_{x = n} ∘ M_{x = m} : P(x, y) ⟶ P" (2(n – m) + x, y)

Misalkan titik P (x, y) dicerminkan terhadap garis x = n, kemudian dicerminkan terhadap garis x = m, maka diperoleh bayangan P" (2(m – n) + x, y).

Secara pemetaan dapat dituliskan:

                  M_{x = m} ∘ M_{x = n} : P(x, y) ⟶ P" (2(m – n) + x, y)

b.      Komposisi Dua Refleksi Berurutan terhadap  Dua Sumbu yang Saling Tegak lurus

Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus secara berurutan ekuivalen dengan rotasi sebesar 180ᵒ berpusat di titik potong kedua sumbu cermin tersebut.

                  M_{x = p} ∘ M_{y = q} ⟶ R ((p, q), 180ᵒ)

Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus secara berurutan juga ekuivalen dengan refleksi terhadap titik potong kedua sumbu cermin.

                  M_{x = p} ∘ M_{y = q} ⟶ M ((p, q))

c.       Komposisi Dua Refleksi Berurutan terhadap Dua sumbu yang saling Berpotongan

Refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling berpotong ekuivalen dengan rotasi sebesar dua kali besar sudut antara dua sumbu cermin, dengan pusat rotasi pada titik potong kedua sumbu dan arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

3. Komposisi Rotasi

Dua rotasi berurutan yang sapusat ekuivalen dengan rotasi sejauh jumlah kedua sudut rotasi terhadap pusat yang sama.

G. Komposisi Transformasi Dengan Matriks

Jika T₁ dan T₂ masing-masing adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks-matriks:

  

Maka komposisi transformasi:

1. T₂ ∘ T₁ bersesuaian dengan perkalian matriks M₂ . M₁, yaitu:

                       

2. T₁ ∘ T₂ bersesuaian dengan perkalian matriks M₁ . M₂, yaitu:

G. Luas Daerah Bangun Hasil Transformasi

Misalkan matriks transformasi  mantransformasikan bangun B menjadi bangun B′, maka:

                        Luas bangun B′ = ∣ det A ∣ × Luas bangun B.  

∣ det A ∣ = nilai mutlak determinan matriks A, dimana:

                        det A = ad – bc

Nilai ∣ det A ∣ dinamakan faktor perbesaran luas. 


Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Transformasi Geometri - 1. Please share...!