Vektor - 1

Jumat, 15 November 2019

A. Pengertian Vektor

Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Secara geometris, sebuah vektor dinyatakan dengan ruas garis berarah. Suatu vektor dapat ditulis menggunakan lanbang huruf kecil yang dicetak tebal, atau dengan huruf kecil yang diberi tanda panah di atasnya.

Pada gambar di atas, ruas garismewakili vektor, dengan titik A sebagai titik pangkal dan titik B sebagai titik ujung.

B. Vektor Di R – 2 (Bidang) dan R – 3

Vektor di R – 2 adalah suatu vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak pada sebuah bidang datar.

Vektor di R – 3 adalah suatu vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak pada sebuah ruas.

 

1.      Kesamssn Vektor

Dua buah vektor dan dikatakan sama jika besar (panjang) dan arah kedua vektor ini sama, ditulis
                          

2.      Panjang Vektor

Jikaadalah satu vektor dalam bidang, maka panjangJikaadalah suatu vektor dalam ruang, maka panjang 

3.      Vektor Satuan

Jika adalahsuatu vektor dalam bidang, maka vektor satuan
 Jika adalah suatu vektor adalah ruang dalam ruang, maka vektor setuan 

      

4.      Operasi pada Vektor

a. Sistem Geometri

1)      Penjumlahan

      a)      Cara Segitiga

     b)      Cara Jajargenjang



    c)      Cara Poligon

                                                                                               

2)    Pengurangan

3)      Perkalian Skalar

Mengalikan suatu vektor dengan sebuah bilangan (skalar) k sama dengan menjumlahkan k buah vektor  yang segaris.

Jika k > 0 maka k  searah dengan  

K < 0 maka k  berlawanan arah dengan  

b. Sistem Komponen

    1)      Penjumlahan

     

    2)      Pengurangan

      

    3)      Perkalian dengan Skalar

      

5.      Sifat Operasi Vektor

      a.  Penjumlah

      

      b.  Pengurangan

       

      c.  Perkalian suatu vektor dengan skalar

      

6.      Vektor Basis di R – 3

 Jika titik O adalah titik pangkal dan titik R adalah titik ujung dengan koordinat (x, y, z), maka sebagai wakil vektordapat dinyatakan sebagai  

1.  x, y, dan z disebut komponen-komponen vektor yang nilai-nilainya bersesuaian dengan kordinat titik R (x, y, z).
2. Vektor-vektordisebut basis di R – 3 pada arah sumbu X positif, sumbu Y positif dan sumbu Z positif. Karena  mempunyai panjang satu satuan, maka vektor-vektor itu sering disebut vektor satuan.
3. Vektor   dapat dinyatakan dalam bentuk vektor barisatau dalam bentuk vektor kolom
       

7.     Rumus Jarak di R – 3

Bila dua titik P(x₁, y₁, z₁) dan (x₂, y₂, z₂) terletak di R – 3 maka rumus garis berarahmewakili vektor
 

Yaitu suatu vektor dengan komponen-komponennya (x₂ – x₁), (y₂ – y₁), dan (z₂ – z₁).

Panjang rumus garis berarah  dapat ditafsirkansebagai jarak antara titik P dan Q ditulis 

                   

8.     Vektor Posisi

Vektor Posisi adalah suatu vektor yang mempunyai titik pangkal dp pusat koordinat O(0, 0, 0). Semua vektor dapat dinyatakan ke dalam vektor posisi.

Vektor posisi A adalah vektor  yang diwakili oleh ruas garis berarahVektor posisi titik A dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom:

                   

                                

Vektor posisi B adalah vektor  yang diwakili oleh ruas garis berarah  Vektor posisi titik B dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom:

                             

Vektor posisi dapat ditentukan oleh:

                  

9.      Perbandingan Bagian Dinyatakan dalam Vektor dan Koordinat

a.  Pembagian ruas garis dalam perbandingan bagian

Suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m : n sehingga AP : PB = m : n.

1. Bila P di dalam AB, makamempunyai arah yang sama dan m, n mempinyai tanda yang sama.
   
2. Bila P di luar AB, maka mempunyai arah yang berlawanan dan m, n mempunyai tanda yang berlawanan.

      b. Pembagian ruas garis dalam bentuk vektor

                 

                                     
Vektor posisi titik A adalah  
Vektor posisi titik B adalah  
Vektor posisi titik P adalah  

Apabila titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan
AP : PB = n : m, maka vektor  ditentukan dengan rumus:

              

     c. Pembagian ruas garis dalam bentuk koordinat

Bila titik P membagi ruas garis yang menghubungkan titik A (x₁, y₁, z₁) dan B (x₂, y₂, z₂) dengan perbadingan m : n, maka koordinan titik P adalah.

C. Perkalian Skalar Dua Vektor

Perkalian skalar dari vektor  dan  vektor adalah bilangan real yang ditentukan oleh.

                                   

                                        

                     Dengan   = panjang vektor

                                    = panjang vektor

                                            θ   = sudut terkecil antara vektor  dan      

Jikamaka dari definisi  dan dengan menggunakan rumus aturan cosinus dapat dibuktikan bahwa.

                                   

Tanda-tanda perkalian skalar dua vektor untuk:

Dapat ditentukan:

1.      Jika> 0, maka cos θ > 0 atau 0ᵒ < θ < 90ᵒ, vektor  dan vektor  membentuk sudut lancip.

2.      Jika< 0, maka cos θ < 0 atau 90ᵒ < θ < 180ᵒ, vektor  dan vektor  membentuk sudut tumpul.

3.      Jika= 0, maka cos θ = 90ᵒ , vektordan vektorsaling  tegak lurus.

4.      Jikamaka cos θ = 1 atau θ = 0ᵒ , vektordan vektorberimpit atau sejajar.

5.      Jikamaka cos θ = – 1 atau θ = 180ᵒ , vektordan vektorberlawanan arah.

Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor

                       

Sudut antara dua vektor

Besarnya sudut antara dua vektor

       

Dapat ditentukan dengan rumus:

                       

D. Proyeksi Suatu Vektor Pada Vektor Lain

Jika vektordiproyekan terhadap vektor, maka hasilnya adalah sebuah vektor yang searah dengan vektor .

Misalkanadalah hasil proyeksi vektor terhadap vektor, maka 
 

Kita mengetahui bahwa

 Karena searah dengan , maka vektor satuan = vektor satuan , akibatnya vektor dapat dinyatakan sebagai:

                                 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Vektor - 1. Please share...!