Aritmatika Modulo – 1

Senin, 27 Desember 2021

 

Teorema 2.

 

Misalkan m adalah bilangan bulat positif, maka berlaku :

a.   Jika a ≡ b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka

(i)     (a + c) ≡ (b + c) (mod m)

(ii)   ac ≡ bc (mod m)

b.   Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka

(i)     (a + c) ≡ (b + d) (mod m)

(ii)   ac ≡ bd (mod m)

 

Bukti teorema 2:

a(i)    a ≡ b (mod m) berarti a = b + km

a + c = b + km + c

(a + c) = (b + c) + km

Sehingga (a + c) ≡ (b + c) (mod m)

a(ii)   a ≡ b (mod m) berarti a = b + km

     ac = bc + km.c

     ac = bc + (kc).m

Sehingga ac ≡ bc (mod m)

b(i)    a ≡ b (mod m) berarti a = b + km

c ≡ d (mod m) berarti c = d + hm

a + c = (b + d) + (k + h)m

Sehingga (a + c) ≡ (b + d) (mod m)

b(ii)   a ≡ b (mod m) berarti a = b + km

c ≡ d (mod m) berarti c = d + hm

    ac = (b + km)(d + hm)

    ac = bd + bhm + dkm + khm²

    ac = bd + (bh + dk + khm).m

Sehingga ac ≡ bd (mod m)

 

Teorema 3.

 

Jika a dan b suatu bilangan bulat dan n adalah bilangan bulat positif, maka berlaku :

(am + b)ⁿ ≡ bⁿ (mod m)

 

Bukti

(am + b)ⁿ ≡ bⁿ (mod m) maka terdapat bilangan bulat k sehingga (am + b)ⁿ = bⁿ + km

Sehingga akan dibuktikan (am + b)ⁿ – bⁿ = km

Jadi terbukti bahwa (am + b)ⁿ ≡ bⁿ (mod m).

 

Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh soal aritmatika modulo

 

01.   Tentukanlah sisa jika 3¹⁹⁹⁰ dibagi 41

 

Jawab:

 

3¹⁹⁹⁰ (mod 41) ≡ 3^{(4 × 497) + 2} (mod 41)

         ≡ 3^{(4 × 497) + 2} (mod 41)

≡ (3⁴)⁴⁹⁷ × 3² (mod 41)  

≡ (2x41–1)⁴⁹⁷ × 9 (mod 41)

≡ (–1)⁴⁹⁷ × 9 (mod 41)

≡ –9 (mod 41)

≡ (41 – 9) (mod 41)

≡ 32 (mod 41)

 

Jadi sisa 3¹⁹⁹⁰ dibagi 41 adalah 32.

 

02.   Tentukan sisa pembagian dari 10⁹⁹ dibagi 7

 

Jawab:

 

10⁹⁹ (mod 7) ≡ (10³)³³ (mod 7)

       ≡ (1000)³³ (mod 7)

       ≡ (7 × 143 – 1)³³ (mod 7)

       ≡ (–1)³³ (mod 7)

       ≡ (–1) (mod 7)

       ≡ 6

 

Jadi sisa pembagiannya adalah 6

 

03.   Tentukan angka terakhir dari 777³³³

 

Jawab:

 

Mencari angka terakhir dari 777³³³ sama dengan mencari sisa pembagian 777³³³ dengan 10, maka:

777³³³ (mod 10) ≡ (77 × 10 + 7)³³³ (mod 10)

 ≡ (77 × 10 + 7)³³³ (mod 10)

 ≡ (7)³³³ (mod 10)

 ≡ (7)^{(2 × 166) + 1} (mod 10)

 ≡ 7^{2 × 166} × 7¹ (mod 10)

 ≡ 49¹⁶⁶ × 7 (mod 10)

 ≡ (5 × 10 – 1)¹⁶⁶ × 7 (mod 10)

 ≡ (–1)¹⁶⁶ × 7 (mod 10)

 ≡ (1) × 7 (mod 10)

 ≡ 7 (mod 10)

 

Jadi angka terakhir dari 777³³³ adalah 7.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Aritmatika Modulo – 1. Please share...!