Sebelum membahas bilangan basis, terlebih dahulu akan dikenalkan aritmatika modulo. Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif, maka operasi a mod m = r dibaca: “angka a pada modulo m nilainya sama dengan r”. dan diartikan: “Jika a dibagi dengan m akan memberikan sisa r”.
Sehingga
secara formal dinyatakan:
Jika a
mod m = r maka terdapat bilangan bulat p sehingga a = mp + r,
dimana bilangan m disebut
modulus atau modulo, dan 0 ≤ r < m.
Untuk
pemantapan lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut:
01. Angka 26 pada
modulo 7 nilainya sama dengan berapa?
26 mod 7 = 5 karena 26 =
(7 x 3) + 5
02. Tentukanlah
nilai setiap angka berikut pada modulo yang diberikan:
(a) 23 mod 5 (b) 27 mod 3
Jawab:
(a) 23 mod 5 = 3 artinya
23 = 5 × 4 + 3
(b) 27 mod 3 = 0 artinya
27 = 3 × 9 + 0
03. Tentukanlah
nilai setiap angka berikut pada modulo yang diberikan :
(a) 6 mod 8 (b) 0 mod 12
Jawab:
(a) 6 mod 8 = 6 artinya 6
= 8 × 0 + 6)
(b) 0 mod 12 = 0 artinya
0 = 12 × 0 + 0
04. Tentukanlah
nilai setiap angka berikut pada modulo yang diberikan :
(a) –41 mod 9 (b) –39 mod 13
Jawab:
(a) –41 mod 9 = 4 artinya
–41 = 9 (–5) + 4
(b) –39 mod 13 = 0 artinya –39 =
13(–3) + 0
Selanjutnya
akan diuraikan pengertian kongruen pada aritmatika modulo.
Dua buah
angka a dan b dikatakan kongruen pada modulo m jika kedua
angka tersebut memberikan sisa
yang sama ketika dibagi dengan m.
Dalam hal
ini
a ≡ b (mod m)
dibaca angka a kongruen dengan angka b pada modulo m.
Untuk
pemantapan lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut:
05. Pada modulo 5,
tunjukkan bahwa angka 38 kongruen dengan angka 13
Jawab:
38 mod 5 = 3
13 mod 5 = 3
Karena 38 mod 5 = 13 mod
5 maka terbukti bahwa 38 ≡ 13 (mod 5).
06. Tunjukkan bahwa
angka-angka berikut ini kongruen pada modulo yang diberikan
(a) 50 ≡ 32 (mod 6) (b) 17 ≡ 2 (mod 3)
(c) –7 ≡ 15 (mod 11)
Jawab:
(a) 50 mod 6 = 2 dan
32 mod 6 = 2, maka kita katakana 50 ≡ 32 (mod 6)
(b) 17 mod 3 = 2 dan
2 mod 3 = 2, maka kita katakana 17 ≡ 2 (mod 3)
(c) –7
mod 11 = 4 dan 15 mod 11 = 4, maka kita katakana –7 ≡ 15 (mod 11)
Teorema
1
Misalkan a
dan b adalah suatu bilangan bulat. Jika m suatu bilangan bulat
positif lebih besar dari 1, maka a
kongruen dengan b modulo m jika m membagi habis (a
– b).
Sebagai
contoh:
07. Dengan teorema
tunjukkan bahwa angka-angka berikut ini kongruen pada modulo yang diberikan
(a) 50 ≡ 32 (mod 6) (b)
17 ≡ 2 (mod 3)
(c) –7 ≡ 15 (mod 11)
Jawab:
(a) 50 ≡ 32 (mod 6) karena berlaku: 50 – 32 = 18 habis dibagi 6
(b) 17 ≡ 2 (mod 3) karena berlaku: 17 – 2 = 15 habis dibagi 3
(c) –7
≡ 15 (mod 11) karena berlaku: –7 – 15 = –22 habis dibagi 11
Berdasarkan
definisi aritmetika modulo, kita dapat menuliskan a mod m = r
sebagai a ≡ r (mod m).
Sebagai contoh:
(1)
23 mod 5 = 3 dapat ditulis sebagai 23 ≡ 3 (mod 5)
(2)
27 mod 3 = 0 dapat ditulis sebagai 27 ≡ 0 (mod 3)
(3)
6 mod 8 = 6 dapat ditulis sebagai 6 ≡ 6 (mod 8)
(4)
0 mod 12 = 0 dapat ditulis sebagai 0 ≡ 0 (mod 12)
(5)
– 41 mod 9 = 4 dapat ditulis sebagai –41 ≡ 4 (mod 9)
(6)
(6i)–39 mod 13 = 0 dapat ditulis sebagai – 39 ≡ 0 (mod 13)
Dari contoh
diatas Kekongruenan a ≡ b (mod m) dapat pula dituliskan dalam
hubungan a
= b + km yang dalam hal ini k adalah bilangan bulat.
Sebagai
contoh:
17 ≡ 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 + (5 × 3)
–7 ≡ 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai –7 = 15 + (–2 x 11)
Sumber
Thanks for reading Aritmatika Modulo. Please share...!
