Bilangan Basis

Selasa, 28 Desember 2021

 

Misalkan b suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1, maka setiap bilangan bulat positif n dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk:

n = a_k b^k + a_{k - 1} b^{k - 1} + a_{k - 2} b^{k - 2} + … + a₁b + a₀

dengan k suatu bilangan bulat taknegatif, aj suatu bilangan bulat dengan 0 ≤ a j ≤ (b – 1) untuk j = 0, 1, 2, … k dengan ak ≠ 0.

Bentuk diatas merupakan prisnsip dasar dari bilangan basis. Bilangan bulat pada umumnya yang sering kita gunakan sehari-hari adalah bilangan dengan basis 10 (sistem decimal). Sistem desimal ini memupnyai simbol angka (numerik) sebanyak 10 buah simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Sebagai contoh:
2.146 = (2 × 103) + (1 × 102) + (4 × 10) + 6

Sistem bilangan yang biasa digunakan pada piranti digital adalah sistem-sistem
bilangan biner, desimal, dan heksa-desimal. Namun yang paling mudah diterapkan di dalam mesin digital adalah sistem biner (basis-2) karena sistem tersebut hanya
mengenal 2 (dua) keadaan.

Untuk membedakan suatu bilangan dalam sistem bilangan tertentu digunakan
konvensi notasi. Contoh bilangan ‘101’ basis-2 akan ditulis dalam bentuk ‘101₂ ’ atau ‘101 B’ untuk mencegah terjadinya salah pengertian dengan bilangan ‘101₈ ’, ‘101₁₆, atau yang lainnya. Dalam konvensi tersebut dijumpai bahwa suatu bilangan yang tidak disertai indeks berarti bilangan tersebut dinyatakan dalam desimal atau basis-10.

Berikut ini akan dijelaskan beberapa bentuk bilangan basis

 

a.      Bilangan basis 2 (biner)

Dalam sistem biner (basis-2) memupnyai simbol angka (numerik) sebanyak 2 buah simbol, yaitu 0, dan 1. Nilai suatu bilangan basis-2 dalam basis-10 dapat
dinyatakan sebagai:

n = a_k 2^k + a_{k - 1} 2^{k - 1} + a_{k - 2} 2^{k - 2} + … + a₁2 + a₀

dengan k adalah bilangan bulat tak negatif,

a_k ,a_{k - 1} , a_{k - 2} , … , a₁ , a₀   adalah angka 0 atau 1.

 

Contoh:

 

(1)    1101₂ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1
1101₂ = (1 × 8) + (1 × 4) + 0 × 2 + 1
1101₂ = 8 + 4 + 0 + 1
1101₂ = 13

(2)    10,01₂ = 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ + 0 × 2 - 1 + 1 × 2 - 2
10,01₂ = (1 × 2) + (0 × 1) + (0 × 0,5) + (1 × 0,25)
10,01₂ = 2 + 0 + 0 + 0,25
10,01₂ = 2,25

 

b.       Bilangan basis 4

Sistem bilangan basis-4 memupnyai simbol angka (numerik) sebanyak 4 buah
simbol, yaitu 0, 1, 2, dan 3. Nilai suatu bilangan basis-4 dalam basis-10 dapat
dinyatakan sebagai:

n = a_k 4^k + a_{k - 1} 4^{k - 1} + a_{k - 2} 4^{k - 2} + … + a₁4 + a₀

dengan k adalah bilangan bulat tak negatif,

a_k ,a_{k - 1} , a_{k - 2} , … , a₁ , a₀   adalah angka 0, 1, 2 atau 3.

Contoh:

 

(1)  231,23₄ = 2 × 4² + 3 × 4¹ + 1 × 4⁰ + 2 × 4 - 1 + 3 × 4 - 2
231,23₄ = (2 × 16) + (3 × 4) + (1 × 1) + (2 × 0,25) + (3 × 0,125)
231,23₄ = 32 + 12 + 1 + 0,5 + 0,375
231,23₄ = 45,875

 

(2)  310,2₄ = 3 × 4² + 1 × 4¹ + 0 × 4⁰ + 2 × 4 - 1
310,2₄ = (3 × 16) + (1 × 4) + (0 × 1) + (2 × 0,25)
310,2₄ = 48 + 4 + 0 + 0,25
310,2₄ = 52,25

 

c.        Bilangan basis 8 (Oktal)

Sistem bilangan basis-8 (Oktal) memupnyai simbol angka (numerik) sebanyak 8 buah simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Nilai bilangan basis-8 dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai:

n = a_k 8^k + a_{k - 1} 8^{k - 1} + a_{k - 2} 8^{k - 2} + … + a₁8 + a₀

 

dengan k adalah bilangan bulat tak negatif,

a_k ,a_{k - 1} , a_{k - 2} , … , a₁ , a₀   adalah angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 atau 7

 

Contoh:

 

(1)  64,23₈ = 6 × 8¹ + 4 × 8⁰ + 2 × 8 - 1 + 3 × 8 - 2
64,23₈ = (6 × 8) + (4 × 1) + (2 × 0,125) + (3 × 0,0625)
64,23₈ = 48 + 4 +1 + 0,250 + 0,1875
64,23₈ = 53,4375.

 

(2)  147,35₈ = 1 × 8² + 4 × 8¹ + 3 × 8⁰ + 5 × 8 - 1
147,35₈ = (1 × 64) + (4 × 8) + (3 × 1) + (5 × 0,125)
147,35₈ = 64 + 32 + 3 + 0,125
147,35₈ = 99,125

 

d.       Bilangan basis 16 (Heksa-Desimal)

Sistem bilangan basis-16 (Heksa-Desimal) memupnyai simbol atau angka
(numerik) sebanyak 16 buah. Karena angka yang telah dikenal ada 10 maka perlu diciptakan 6 simbol angka lagi yaitu A, B, C, D, E, dan F dengan nilai A₁₆ = 10₁₀, B₁₆ = 11₁₀, C₁₆ = 12₁₀, D₁₆ = 13₁₀, E₁₆ = 14₁₀, dan F₁₆ = 15₁₀. Dengan demikian simbol angka-angka untuk sistem heksadesimal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F.

Nilai bilangan basis-8 dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai:

n = a_k 16^k + a_{k - 1} 16^{k - 1} + a_{k - 2} 16^{k - 2} + … + a₁16 + a₀

 

dengan k adalah bilangan bulat taknegatif,

a_k ,a_{k - 1} , a_{k - 2} , … , a₁ , a₀   adalah angka 0, 1, 2, 3, …, 14, atau 15

 

Contoh:

 

(1)  58AE₁₆ = 5 × 16³ + 8 × 16² + 10 × 16¹ + 14
58AE₁₆ = 5 × 163 + 8 × 162 + 10 × 161 + 14
58AE₁₆ = 20.480 + 2.048 + 160 + 14
58AE₁₆ = 22.702

 

(2)  E1,A₁₆ = 14 × 16¹ + 1 × 16⁰ + 10 × 16^-1
E1,A₁₆ = (14 × 16) + (1 x 1) + (10 × 0,0625)
E1,A₁₆ = 224 + 1 + 0,625
E1,A₁₆ = 225,625.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Bilangan Basis. Please share...!