Garis-Garis Pada Segitiga

Rabu, 14 September 2022

Terdapat beberapa garis khusus pada segitiga, yaitu garis berat, garis bagi, garis tinggi dan garis sumbu. Penjelasan dari garis-garis tersebut akan diuraikan sebagai berikut:

(a)        Garis Berat

 

Garis Berat sisi sisi suatu segitiga adalah ruas garis dari titik-titik suatu segitiga yang membagi dua sama panjang sisi di hadapannya. Terdapat tiga garis berat dalam suatu segitiga, dimana ketiganya akan berpotongan disatu titik tertentu.

Berikut ini langkah-langkah melukis garis berat segitiga ABC yang memotong sisi AC dan BC.

1.     Dengan pusat di A lukislah busur yang memotong sisi AC dan sebaliknya dengan pusat C lukislah busur yang memotong sisi AC.

Kedua busur itu akan berpotongan di titik P dan Q.

2.    Tarik garis dari P dan Q memotong sisi AC di D. Tarik garis dari titik sudut B ke titik D. Garis ini adalah garis berat segitiga ABC dari sudut B

3.     Dengan pusat di B lukislah busur yang memotong sisi BC dan sebaliknya dengan pusat C lukislah busur yang memotong sisi BC.

Kedua busur itu akan berpotongan di titik R dan S

4.    Tarik garis dari R dan S memotong sisi BC di E. Tarik garis dari titik sudut A ke titik E. Garis ini adalah garis berat segitiga ABC dari sudut A

5.     Kedua garis berat itu akan berpotongan di titik M. Titik M adalah titik berat segitiga ABC

 

Tiga garis berat segitiga ABC yakni AE, BD dan CF akan berpotongan di titik M dengan perbandingan :

CM : MF = AM : ME = BM : MD = 2 : 1

Bukti sifat ini adalah sebagai berikut :

Pada ∆ CDM berlaku aturan sinus

 

Pada ∆ DAB berlaku aturan sinus

 

Pada ∆ BFM berlaku aturan sinus

 

Dari (1),(2) dan (3) diperoleh :

 

Pada segitiga ABC dimana AE, BD dan CF berturut turut adalah garis berat sisi-sisi BC, AC dan AB, serta M adalah titik beratnya, maka berlaku rumus:

CF² = ½ CA² + ½ CB² – ¼ AB²

AE² = ½ AB² + ½ AC² – ¼ BC²

BD² = ½ BC² + ½ BA² – ¼ AC²

 

Bukti sifat ini adalah sebagai berikut :

 

Misalkan AB = c, AC = b, BC = a serta AF = FB = x cm dan ÐAFC = α maka menurut aturan cosinus.

Pada segitiga AFC berlaku :

b² = CF² + AF² – 2.CF.AF.cos α

b² = CF² + x² – 2.CF.x.cos α ………………………… (1)

Pada segitiga BFC berlaku :

a² = CF² + FB2 – 2.CF.FB.cos (180° – α)

a² = CF² + x² + 2.CF.x.cos α  …………..…………… (2)

dari (1) dan (2) diperoleh :

a² = CF² + x² + 2.CF.x.cos α

b² = CF² + x² – 2.CF.x.cos α

----------------------------------------- +

a² + b² = 2CF² + 2x²

2CF² = a² + b² – 2(½ c)²

CF² = ½ CA² + ½ CB² – ¼ AB²

 

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.     Diketahui segitiga ABC dengan sisi AB = 6 cm dan AC = BC = 3Ö5 cm. Jika M adalah titik berat segitiga ABC, maka hitunglah luas segitiga ABM

 

Alternatif Pembahasan :

 

Karena ABC sama kaki, maka garis berat CP tegak lurus dengan AB

Sehingga:

AP = ½ (6) = 3 cm

CP = 6 cm

 

CM : MP = 2 : 1

CM = 2.MP

 

Maka

CM + MP = 6

2.MP + MP = 6

3.MP = 6         sehingga MP = 2 cm

 

Jadi luas segitiga ABM = ½ AB.MP = ½ (6)(2) = 6 cm²

 

2.     Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 5 cm, BC = 7 cm dan AC = 6 cm. Jika AP adalah garis berat yang ditarik dari titik sudut A, maka tentukanlah panjang gari AP

 

Alternatif Pembahasan :

 

AP² = ½ AB² + ½ AC² – ¼ BC²

AP² = ½ (5)² + ½ (6)² – ¼ (7)²

AP² = 28                   maka AP = Ö28 = 2Ö7 cm

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Garis-Garis Pada Segitiga. Please share...!