Luas Segitiga

Selasa, 13 September 2022

Rumus luas segitiga ABC yang sudah kita ketahui sebelumnya adalah :

L = ½ alas × tinggi

L = ½ AB × CD

L = ½ ⋅  c ⋅ h                                                          … (1)

Karena h adalah garis tinggi, maka segitiga ACD adalah segitiga siku-siku, sehingga:

 

       Jadi h = b ⋅ sin A                  … (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh L = ½ ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A

Jika garis tinggi h ditarik dari titik B maka diperoleh rumus L = ½ ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B

Jika garis tinggi h ditarik dari titik A maka diperoleh rumus L = ½ ⋅ a ⋅ b ⋅ sin C

 

Jadi disimpulkan: Rumus luas segitiga ABC adalah :

L = ½ ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A

L = ½ ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B

L = ½ ⋅ a ⋅ b ⋅ sin C

 

Rumus lain dari luas segitiga ABC adalah jika diketahui panjang ketiga sisinya (yakni a, b dan c). Rumus tersebut adalah:

 

dimana s = ½ (a + b + c)

 

Bukti dari rumus ini adalah sebagai berikut :

Menurut identitas trigonometri        sin²A + cos²A = 1

Sehingga                                           sin²A = 1 – cos²A

                                                          sin²A = (1 + cos A) (1 – cos A)     …  (1)

Menurut aturan cosinus                    a² = b² + c² – 2⋅ b ⋅ c ⋅ cos A

Sehingga                                  2⋅ b ⋅ c ⋅ cos A = b² + c² – a²

Dari (1) dan (2):

 

 

Sehingga diperoleh:

 

Setengah keliling segitiga ABC adalah s = ½ (a + b + c). Sehingga

(a + b + c) = 2s

(b + c – a) = (a + b + c) – 2a = 2S – 2a = 2(s – a)

(a + b – c) = (a + b + c) – 2c = 2S – 2c = 2(s – c)                   … (4)

(a – b + c) = (a + b + c) – 2b = 2S – 2b = 2(s – b)

Dari (3) dan (4) :

 

Jika rumus terakhir ini disubstitusikan ke rumus luas segitiga L = ½ ⋅ b ⋅.c ⋅ sin A, diperoleh:

 

Untuk lebih jelasnya diskusikanlah contoh soal berikut ini:

 

1.     Tentukanlah luas segitiga ABC jika diketahui sisi BC = 4 cm, AC = 7Ö3 cm dan ÐC = 60°

 

Alternatif Pembahasan:

 

Diketahui :

BC = a = 4 cm

AC = b = 7Ö3 cm

ÐC = 60°

 

Maka :

L = ½ ⋅ a ⋅ b ⋅ sin C

L = ½ (4)(7Ö3).sin 60°

L = (14Ö3)(½Ö3)

L = 21

 

2.     Sebuah segitiga ABC diketahui luasnya 18 cm². Jika panjang sisi BC = 4 cm dan AB = 6Ö3 cm, maka tentukanlah besar sudut B

 

Alternatif Pembahasan:

 

Diketahui :

Luas = 18 cm²

BC = a = 4 cm

AB = c = 6Ö3 cm

 

Maka :

L = ½ ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B

18 = ½ (4)(6Ö3) ⋅ sin B

18 = (12Ö3) ⋅ sin B

 

Jadi ÐB = 60° atau ÐB = 120°

 

3.     Hitunglah luas segi enam beraturan ABCDEF yang panjang sisi-sisinya 4 cm

 

Alternatif Pembahasan:

 

 

x + x + 60° = 180°

2x = 120°

x = 60°

Sehingga ABO segitiga sama sisi

OA = OB = AB = 4 cm

 

Jadi:

L_AOB = ½ ⋅ a ⋅ b ⋅ sin O

L_AOB = ½ (4)(4) ⋅ sin 60°

L_AOB = (8)(½ Ö3)

L_AOB = 4Ö3 cm²

 

Sehingga:

L = 6 × L_AOB

L = 6(4Ö3) cm²

L = 24Ö3 cm²

 

Sumber 

Labels: Matematika

Thanks for reading Luas Segitiga. Please share...!