Masalah dimulai dari soal cerita dan diakhiri dengan mendapatkan suatu nilai optimum fungsi objektif / fungsi sasaran. Fungsi objektif ini dapat berbentuk funsi laba, pendapatan, biaya dan sebagainya. Sehingga untuk menyelesaikan program linier lengkap, hendaknya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
(1)
Menyusun
model matematika yang terdiri dari kendala (sistem pertidaksamaan linier) dan
fungsi sasaran
(2)
Melukis
grafik daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier tersebut serta
menentukan titik-titik ujinya
(3)
Menentukan
nilai optimum suatu fungsi sasaran dengan cara mensubstitusikan titik-titik uji
ke dalam fungsi sasaran
Untuk lebih
jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini:
1. Sebuah
kapal penyeberangan mempunyai 70 tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama
bagasinya disediakan 100 kg dan setiap penumpang kelas ekonomi 50 kg. Kapal itu
hanya dapat menampung bagasi maksimum 5.000 kg. jika tiket untuk kelas utama
Rp. 600.000 dan untuk kelas ekonomi Rp. 300.000 maka tentukanlah besarnya
pendapatan maksimum untuk sekali jalan
Alternatif Pembahasan :
Misalkan x = banyaknya penumpang kelas utama
y = banyaknya penumpang kelas ekonomi
maka dapat disusun
kendala kapasitas bagasi dan kapasitas tempat duduk sebagai berikut:
x + y ≤ 70
100x + 50y ≤ 5000
x
≥ 0
y
≥ 0
Jika disederhanakan
menjadi :
x + y ≤ 70
2x + y ≤ 100
x
≥ 0
y
≥ 0
Fungsi pendapatan : f(x,
y) = 600000x + 300000y
Selanjutnya akan dilukis
grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas:
x + y = 70 ... (g)
|
x |
y |
(x,
y) |
|
0 |
70 |
(0, 70) |
|
70 |
0 |
(70, 0) |
2x + y = 100 ... (h)
|
x |
y |
(x,
y) |
|
0 |
100 |
(0, 100) |
|
50 |
0 |
(50, 0) |
Titik A koordinatnya adalah A(0, 70)
Titik C koordinatnya adalah C(50, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
(1) x + y = 70
(2) 2x + y =
100
---------------------
–x = –30 jadi
x = 30
karena x + y = 70 maka 30 + y = 70, sehingga y = 40
Jadi koordinat titik B adalah B(30, 30)
Selanjutnya titik-titik
tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni:
f(x,y) = 600000x + 300000y, sehingga
diperoleh :
A(0, 70) → f(A) = 600000(0) + 300000(70) = 21.000.000
B(30, 40) → f(B) = 600000(30) + 300000(40) =
30.000.000
C(50, 0) → f(C) = 600000(50) + 300000(0) = 30.000.000
Jadi besarnya pendapatan
maksimum untuk sekali jalan adalah Rp. 30.000.000.
2. Seorang
anak diharuskan memakan dua jenis tablet tiap hari. Tablet pertama mengandung 2
unit vitamin A dan 2 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 3 unit
vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak itu memerlukan paling
sedikit 12 unit vitamin A dan 8 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp.
500 perbutir dan tablet kedua Rp. 1.000 perbutir maka agar pengeluaran minimum
banyak tablet pertama yang harus dibeli adalah …
Alternatif Pembahasan :
Misalkan x = banyaknya tablet jenis pertama
y = banyaknya tablet jenis kedua
maka dapat disusun
kendala kebutuhan vitamin A dan vitamin B sebagai berikut:
|
|
Tablet 1 |
Tablet 2 |
Persediaan |
|
Vit. A |
2 |
3 |
12 |
|
Vit. B |
2 |
1 |
8 |
Dari tabel di atas dapat disusun kendala, yakni :
2x + 3y ≥ 12
2x + y ≥ 8
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi pengeluaran f(x, y) = 500x + 1000y
Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan di atas:
2x + 3y = 12 ... (g)
|
x |
y |
(x,
y) |
|
0 |
4 |
(0, 4) |
|
6 |
0 |
(6, 0) |
2x + y = 8 ... (h)
|
x |
y |
(x,
y) |
|
0 |
8 |
(0, 8) |
|
4 |
0 |
(4, 0) |
Titik A koordinatnya
adalah A(0, 8)
Titik C
koordinatnya adalah C(6, 0)
Sedangkan titik B
merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
(1) 2x + 3y
= 12
(2) 2x + y
= 8
----------------
2y
= 4 jadi y = 2
karena 2x + y = 8
maka 2x + 2 = 8, sehingga 2x = 6 , x = 3
Jadi koordinat titik B
adalah B(3, 2)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam
fungsi optimum yakni:
f(x,y)
= 500x + 1000y, sehingga diperoleh :
A(0, 8) → f(A) = 500(0) + 1000(8) = 8.000
B(3, 2) → f(B) = 500(3) + 1000(2) = 3.500
C(6, 0) → f(C) = 500(6) + 1000(0) = 3.000
Jadi besarnya pengeluaran minimum Rp. 3.000 didapat jika
dibeli 6 tablet pertama.
Sumber
Thanks for reading Menafsirkan Nilai Optimum dalam Program Linier. Please share...!
