Suatu fungsi sasaran dalam program linier dengan dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk : f(x, y) = ax + by dimana a dan b anggota bilangan real. Fungsi objektif ini dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dalam suatu soal cerita. Sedangkan nilai optimum itu sendiri terdiri dari nilai maksimum (misalnya menyangkut laba, pendapatan, dan lain-lain) dan nilai minimum (misalnya menyangkut biaya, kerugian, dan lain-lain).
Nilai
optimum suatu fungsi sasaran dapat ditentukan dengan menggunakan titik uji, yaitu
titik potong dua garis batas dalam daerah penyelesaian. Untuk lebih jelasnya akan
diuraikan dalam contoh-contoh soal berikut ini :
1. Tentukanlah
nilai maksimum dari f(x,y) = 6x + 2y pada daerah yang
diarsir di samping.
Alternatif Pembahasan :
Garis g melalui dua titik yakni (0, 8) dan (4,
0) sehingga persamaannya:
8x + 4y = 32
2x + y = 8 ... (1)
Garis h melalui dua titik yakni (0, 5) dan (5,
0) sehingga persamaannya
5x + 5y = 25
x + y = 5 ... (2)
Titik-titik uji yaitu A, B, C dan O. Sehingga:
Titik A koordinatnya adalah A(0, 5)
Titik C koordinatnya adalah C(4, 0)
Titik O koordinatnya adalah O(0, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
(1) 2x + y =
8
(2) x + y = 5
-------------------
x = 3
karena x + y = 5 maka 3 + y = 5, sehingga y = 2.
Jadi koordinat titik B adalah B(3, 2).
Selanjutnya titik-titik
tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni
f(x,y) = 6x + 2y, sehingga diperoleh
:
A(0,
5) → f(A)
= 6(0) + 2(5) = 10
B(3,
2) → f(B)
= 6(3) + 2(2) = 22
C(4,
0) → f(C)
= 6(4) + 2(0) = 24
O(0,
0) → f(O)
= 6(0) + 2(0) = 0
Jadi nilai maksimum untuk fungsi ini,
yaitu 24.
2. Tentukanlah
nilai maksimum dari f(x,y) = 5x + 3y untuk sistem
pertidaksamaan :
x + y ≤ 6
2x + 3y ≤ 15
x ≥
0
y ≥
0
Alternatif Pembahasan :
Mula mula kita gambar
terlebih dahulu daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas.
x + y = 6 ... (g)
|
x |
y |
(x, y) |
|
0 |
6 |
(0, 6) |
|
6 |
0 |
(6, 0) |
2x + 3y = 15 ... (h)
|
x |
y |
(x, y) |
|
0 |
5 |
(0, 5) |
|
15/2 |
0 |
(15/2, 0) |
x
= 0 ... sumbu-Y
y
= 0 ... sumbu-X
Himpunan penyelesaiannya
adalah daerah segiempat yang bebas dari arsiran,
dan titik-titik ujinya
adalah A, B dan C
Titik A koordinatnya adalah A(0, 5)
Titik C koordinatnya adalah C(6, 0)
Sedangkan titik B
merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
(1) x + y = 6 (2)
2x
+ 2y = 12
(2) 2x +
3y = 15 (1) 2x + 3y
= 15
-----------------------------------------
–y = –3 jadi y =
3
karena x + y = 6 maka x + 3 = 6, sehingga x = 3.
Jadi koordinat titik B adalah B(3, 3)
Selanjutnya titik-titik
tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni:
f(x,y) = 5x + 3y, sehingga
diperoleh :
A(0,
5) ) → f(A)
= 5(0) + 3(5) = 15
B(3,
3) ) → f(B)
= 5(3) + 3(3) = 24
C(6,
0) ) → f(C)
= 5(6) + 3(0) = 30
Jadi nilai maksimum untuk fungsi ini,
yaitu 30.
Sumber
Thanks for reading Nilai Optimum Suatu Fungsi Sasaran. Please share...!
