Jika diketahui lingkaran L adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dan terdapat titik M(x1, y1) diluar lingkaran L, maka kuasa titik M terhadap lingkaran L dirumuskan :
K(M) = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2
Nilai kuasa ini menunjukkan kuadrat jarak dari titik M ke
titik T.
Sedangkan untuk lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, kuasa titik M(x1,
y1) dirumuskan :
K(M) = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C
Jika M titik diluar lingkaran dan g adalah garis singgung lingkaran yang
ditarik dari M serta T adalah adalah titik singgungnya, maka
dirumuskan :
Untuk
pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut ini :
1. Tentukanlah
nilai kuasa titik A(–3, 2) terhadap
lingkaran x2 + y2 – 10x + 6y + 18 = 0
Alternatif Pembahasan :
K(A) = x12
+ y12 + Ax1 + By1 + C
K(A) = (–3)2 + (2)2
– 10(–3) + 6(2) + 18
K(A) = 9 + 4 + 30 + 12 + 18
K(A) = 73
2. Diketahui
lingkaran x2 + y2 – 10x + 6y + 18 = 0. Jika
kuasa titik A(10, p) terhadap lingkaran tersebut adalah
34, maka nilai p = ….
Alternatif Pembahasan :
K(A) = 34
x12 + y12 – 10 x1
+ 6 y1 + 18 = 34
(10)2 + (p)2 – 10(10) + 6(p) + 18 = 34
100 + p2 – 100 + 6p + 18 – 34 = 0
p2 + 6p – 16 = 0
(p + 8)(p – 6) = 0
Nilai p = –8 dan p = 6.
Tiga
kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran L
1.
Titik
A(x,
y) terletak di dalam lingkaran jika K(A) < 0
2.
Titik
B(x,
y) terletak pada lingkaran jika K(B) = 0
3.
Titik
C(x,
y) terletak di luar lingkaran jika K(C) > 0
Sebagai
contoh diketahui lingkaran (x – 2)2
+ (y + 4)2 = 40, maka
Titik P(5, 1) terletak di dalam lingkaran
karena (5 – 2)2 + (1 + 4)2 < 40
Titik P(8, –2) terletak tepat pada lingkaran
karena (8 – 2)2 + (–2 + 4)2 = 40
Titik P(–3, 2) terletak di luar lingkaran
karena (–3 – 2)2 + (2 + 4)2 > 40
Untuk
lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y – 23 = 0, maka
Titik P(2, 5) terletak di dalam lingkaran
karena 22 + 52 + 6.2 – 4.5 – 23 < 0
Titik P(3, 2) terletak tepat pada lingkaran
karena 32 + 22 + 6.3 – 4.2 – 23 = 0
Titik P(4, –1) terletak di luar lingkaran
karena 42 + (–1)2 + 6.4 – 4(–1) – 23 > 0
Untuk lebih
jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:
1.
Tentukanlah
jarak titik A (15, –3) terhadap
lingkaran x2 + y2 – 10x + 6y + 18 = 0
Alternatif Pembahasan :
x2 + y2 – 10x + 6y + 18 = 0
2. Jika
diketahui titik T(k, 3) terletak pada lingkaran x2 + y2 – 13x + 5y + 6 = 0 maka tentukanlah nilai k ?
Alternatif Pembahasan :
x2 + y2 – 13x + 5y + 6 = 0
(k)2 + (3)2 – 13(k) + 5(3) + 6 = 0
k2 + 9 – 13k + 15 + 6 = 0
k2 – 13k + 12 = 0
(k – 12)(k – 1) = 0
Jadi nilai k = 12 dan k = 1.
Sumber
Thanks for reading Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran. Please share...!
