Operasi Pembagian Pada Polinomial

Rabu, 02 November 2022

Pembagian polinom pada prinsipnya bersesuaian dengan pembagian pada bilangan.

Sebagai contoh akan kita lakukan pembagian 623 dengan 3 sebagai berikut :

          

Pada pembagian tersebut,

3 dinamakan pembagi

653 dinamakan yang dibagi

217 dinamakan hasil bagi

2 dinamakan sisa pembagian

Sehingga berlaku :

653 = 3 × 217 + 2

 

Pembagian dengan cara diatas dinamakan metoda bersusun. Untuk pembagian polinom, prosesnya memenuhi juga aturan bersusun diatas.

Sebagai contoh akan dilakukan pembagian bentuk polinom (2x³ – 5x² + 4x + 3) dengan (x – 3) sebagai berikut :

Dalam hal ini :       x – 3 dinamakan pembagi

2x³ – 5x² + 4x + 3 dinamakan yang dibagi

2x² + x + 7 dinamakan hasil bagi

24 dinamakan sisa pembagian

 

Sehingga berlaku : 2x³ – 5x² + 4x + 3 = (x – 3)(2x² + x + 7) + 24

Sehingga secara umum sifat dari pembagian polinom memenuhi aturan:

Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

Selain dengan metoda bersusun, pembagian polinom dapat juga dilakukan dengan skema Horner. Sebagai contoh akan dilakukan kembali pembagian bentuk polinom (2x³ – 5x² + 4x + 3) dengan (x – 3) menggunakan metoda Horner sebagai berikut :

Sehingga didapatkan Hasil Bagi = 2x² + 1x + 7 dan sisa = 24.

 

Selanjutnya, penggunaan metoda Horner ini mengharuskan pembagi dikelompokkan sebagai berikut :

a.      Pembagian polinom dengan (x – k)

 

Jika polinom F(x) dibagi (x – k) akan memperoleh hasil bagi H(x) dan sisa s maka dalam hal ini berlaku sifat :

F(x) = (x – k) H(x) + s

Untuk x = k memenuhi F(k) = (k – k) H(k) + s

F(k) = (0) + s

F(k) = s

 

Jadi Menurut Teorema Horner :      Hasil bagi = H(x)

Sisa pembagian = F(k).

 

b.     Pembagian polinom dengan (ax – b)

 

Jika polinom F(x) dibagi denganakan memperoleh hasil bagi dan sisa sebagai berikut :

     

    Jadi Menurut Teorema Horner :

 

c.      Pembagian polinom dengan (x – x₁)(x – x₂)

 

Jika polinom F(x) dibagi dengan (x – x₁)(x – x₂) akan menghasilkan hasil bagi dan sisa pembagian dengan dua kali tahapan Horner (Horner tingkat dua). Pada tingkat pertama F(x) dibagi dengan (x – x₁) menghasilkan hasil bagi H₁(x) dan sisa s₁. Kemudian pada tingkat kedua hasil bagi H₁(x) dibagi lagi dengan (x – x₂) menghasilkan hasil bagi H₂(x) dan sisa s₂. Prosesnya adalah sebagai berikut :

F(x) = (x – x₁) H₁(x) + s₁

F(x) = (x – x₁)[(x – x₂) H₂(x) + s₂] + s₁

F(x) = (x – x₁)(x – x₂) H₂(x) + (x – x₁) s₂ + s₁

 

Bentuk terakhir ini menunjukkan polinom F(x) dibagi dengan (x – x₁)(x – x₂) akan menghasilkan :           

Hasil bagi = H₂(x)

Sisa pembagian = (x – x₁) s₂ + s₁

 

d.     Pembagian polinom dengan ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

 

Merunut dari bentuk c di atas maka hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom.

F(x) dengan ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂) didapat dari proses berikut :

  

Bentuk terakhir ini menunjukkan polinom F(x) dibagi dengan ax² + bx + c akan menghasilkan :    

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :

 

1.   Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (x³ – 3x² – 5x – 3) : (x – 2)  dengan metoda :

(a)  Pembagian Bersusun     (b)  Skema Horner

 

Alternatif Pembahasan :

 

(a)  Dengan pembagian bersusun

 

         

 

Jadi : Hasil bagi = x² – x – 7

Sisa = –17

 

(b)  Skema Horner

 

         

Hasil Bagi = 1x² – 1x – 7 = x² – x – 7
Sisa = –17

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Operasi Pembagian Pada Polinomial. Please share...!