Teorema Sisa

Kamis, 03 November 2022

Disamping menggunakan metoda bersusun dan skema Horner, sisa pembagian polinom dapat juga dicari dengan teorema sisa. Secara umum teorema sisa diambil dari teorema umum pembagian, yakni :

Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

Namun secara khusus teorema sisa dibagi atas beberapa bagian sesuai dengan karasteristik pembaginya, yaitu :

1.    Jika polinom f(x) dibagi oleh (x – k) akan mendapatkan hasil bagi H(x) dan sisa s, aka berlaku hubungan:

f(x) = (x – k) H(x) + s

Untuk k = 0 maka f(x) = (k – k) H(k) + s

sehingga sisa = s = f(k).

 

2.    Jika polinom f(x) dibagi oleh ax² + bx + c = a(x – x₁)( x – x₂) akan mendapatkan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) maka berlaku hubungan :

f(x) = (x – x₁)(x – x₂) H(x) + S(x)

Misalkan S(x) = mx + n, maka

f(x₁) = (x₁ – x₁)(x₁ – x₂) H(x₁) + mx₁ + n  sehingga f(x₁) = mx₁ + n …  (1)

f(x₂) = (x₂ – x₁)(x₂ – x₂) H(x₂) + mx₂ + n   sehingga f(x₂) = mx₂ + n …  (2)

 

Kalau proses ini diteruskan, maka akan diperoleh pula sisa pembagian untuk pembagi ax³ + bx² + cx + d = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃). Tentu saja proses ini menggunakan eliminasi tiga variable dengan tiga persamaan. Namun dalam bab ini akan dibahas hanya sampai pembagi berderajat 2.

 

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh berikut ini:

 

1.     Tentukanlah sisa dari pembagian polinom (x³ – 5x² + 4x + 8) : (x – 3) dengan menggunakan teorema sisa

 

Alternatif Pembahasan :

 

Misalkan F(x) = x³ – 5x² + 4x + 8 maka pembagian F(x) dengan (x – 3) mendapatkan sisa F(3).

Jadi : Sisa = (3)³ – 5(3)² + 4(3) + 8

  = 27 – 45 + 12 + 8

  = 2

 

2.     Jika polinom F(x) dibagi (x + 5) maka sisanya 15. Dan jika F(x) dibagi (x² – 5x + 6) maka sisanya adalah 2x – 17. Tentukanlah sisanya jika polinom F(x) dibagi dengan (x² + 3x – 10)

 

Alternatif Pembahasan :

 

Polinom F(x) dibagi (x + 5) sisanya F(–5) = 15

Polinom F(x) dibagi x² – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2) sisanya 2x – 17

Maka F(3) = 2(3) – 17 diperoleh F(3) = –11

F(2) = 2(2) – 17 diperoleh F(2) = –13

Polinom F(x) dibagi x² + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2) sisanya mx + n

Sehingga          F(–5) = m(–5) + n          maka 15 = –5m + n            ... (1)

 F(2) = m(2) + n            maka –13 = 2m + n            ... (2)

 

Dari (1) dan (2) diperoleh :     15 = –5m + n

–13 =   2m + n

-------------------  –

  28 = –7m

 

Maka      m = –4 dan n = –5

 

Jadi : S(x) = –4x – 5

 

3.     Polinom x⁴ – 8x² + 2ax + b dibagi x² – x – 2 mendapatkan sisa 3x – 4. Tentukan nilai a dan b

 

Alternatif Pembahasan :

 

Misalkan F(x) = x⁴ – 8x² + 2ax + b

Maka F(x) dibagi x² – x – 2 = (x – 2)(x + 1) sisanya 3x – 4

 

Sehingga             F(2) = 3(2) – 4     diperoleh F(2) = 2

F(–1) = 3(–1) – 4   diperoleh F(–1) = –7

 

Jadi :

F(2) = (2)⁴ – 8(2)² + 2a(2) + b = 2

  16 – 32 + 4a + b = 2

   –16 + 4a + b = 2

   4a + b = 18                          ... (1)

 

F(–1) = (–1)⁴ – 8(–1)² + 2a(–1) + b = –7

    1 – 8 –2a + b = –7

       –7 – 2a + b = –7

        –2a + b = 0                     ... (2)

 

Dari (1) dan (2) diperoleh :   4a + b = 18

   –2a + b = 0

   ----------------- –

      6a = 18

 

Maka a = 3 dan b = 6.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Teorema Sisa. Please share...!