Secara umum teorema faktor berbunyi: “Jika G(x) adalah faktor dari polinom F(x), maka F(x) dibagi G(x) mendapatkan sisa nol.
Secara khusus jika (x
– k) adalah faktor linier dari polinom F(x) maka F(k) = 0. Dan x = k adalah salah satu akar akar
persamaan F(x) = 0.
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh berikut
ini:
1.
Buktikanlah bahwa (x + 3) adalah faktor dari x3
+ x2 – 9x – 9
Alternatif Pembahasan :
Jika (x + 3) adalah faktor dari F(x)
= x3 + x2 – 9x – 9, maka F(–3) = 0
Uji : F(–3) = (–3)3 + (–3)2 – 9(–3) – 9
F(–3) =
–27 + 9 + 27 – 9
F(–3) = 0
Terbukti
bahwa (x + 3) adalah faktor dari x3 + x2 – 9x – 9.
2.
Tentukanlah faktor-faktor linier dari
persamaan x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12
= 0
Alternatif Pembahasan :
Dengan menggunakan skema Horner diperoleh :
Faktor-faktornya
: (x – 2), (x + 2), (x – 1) dan (x – 3).
Jika x1,
x2,
x3 , … dan xn adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan polinom anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a1x + a0 = 0
maka x1, x2, x3, … dan xn
dinamakan akar-akar polinom tersebut. Adapun rumus jumlah dan hasil kali
akar-akar persamaan suatu polinom dapat diturunkan sebagai berikut :
anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a1x + a0 = 0
(x – x1)(x – x2)(x – x3)(x – x4)
… (x – xn) = 0
anxn
+ (x1 + x2 + x3
+ … + xn) xn – 1 + ... + (x1 . x2 . x3
. … . xn) = 0
Sehingga diperoleh hubungan :
Sebagai ilustrasi :
(1)
ax2 + bx + c = 0
(2)
ax3 + bx2 + cx + d =
0
(3)
ax4 + bx3 + cx2
+ dx + e = 0
(4)
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal
berikut ini :
1.
Tentukanlah jumlah dan hasil kali
akar-akar persamaan polinom
2x3 – 5x2 + 4x – 6 = 0
Alternatif Pembahasan :
2x3 – 5x2 + 4x – 6 = 0
Maka
2. Salah satu akar dari persamaan 2x3 + 3x2 + 7x + 3p = 0 adalah –1. Tentukanlah hasil kali
dua akar yang lain !
Alternatif Pembahasan :
Misalkan x1 = –1, maka
2(–1)3 + 3(–1)2 + 7(–1) + 3p = 0
–2 + 3 – 7
+ 3p = 0
3p – 6 = 0
3p = 6 sehingga
p = 2
Jadi :
–x2
⋅ x3 = –3
x2 ⋅ x3 = 3
Hasil
kali dua akar yang lain sama dengan 3.
Sumber
Thanks for reading Teorema Faktor. Please share...!
