Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa
integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x)
yang dapat didiferensialkan pada interval [a, b] sedemikian hingga 
,
Secara matematis, ditulis:
di mana ∫ dx = Lambang integral yang menyatakan
operasi antiturunan
f(x) = Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari
antiturunannya
c = Konstanta
Sebagai contoh, dapat kalian tuliskan:
karena:
Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil
keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c).
Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut
yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.
Teorema 1
Jika n bilangan rasional dan n
¹ 1, maka
di mana c adalah
konstanta.
Teorema 2
Jika f fungsi yang
terintegralkan dan k suatu konstanta, maka 
.
Teorema 3
Jika f dan g fungsi-fungsi
yang terintegralkan, maka 
.
Teorema 4
Jika f dan g fungsi-fungsi
yang terintegralkan, maka 
.
Teorema 5
Aturan integral substitusi
Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka 
, di mana c adalah konstanta dan r ¹ ‒1.
Teorema 6
Aturan integral parsial
Jika u dan v fungsi-fungsi
yang dapat didiferensialkan, maka 
.
Aturan integral trigonometri
di mana c adalah konstanta.
Pembuktian Teorema 1
Untuk membuktikan Teorema 1
kalian dapat mendiferensialkan xn + 1 + c
yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.
Pembuktian Teorema 3 dan 4
Untuk membuktikan Teorema 4,
kalian dapat mendiferensialkan 
yang terdapat pada
ruas kanan seperti berikut.
Contoh
Hitunglah integral dari 
Alternatif Pembahasan :
Pembuktian Teorema 6
Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua
fungsi f(x) = u(x) · v(x) adalah 
.
Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus
tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan seperti
berikut.
Karena
v′ (x) dx = dv dan u′ (x) dx = du
Maka persamaan dapat
ditulis:
Sumber
Thanks for reading Integral Tak Tentu. Please share...!
