Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Blogger.

Integral Tak Tentu


Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval [a, b] sedemikian hingga maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c.

Secara matematis, ditulis:

di mana         ∫ dx = Lambang integral yang menyatakan 

                                 operasi antiturunan

f(x) = Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari

antiturunannya

   c = Konstanta

 

Sebagai contoh, dapat kalian tuliskan:

karena:

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.

 

Teorema 1

Jika n bilangan rasional dan n ¹ 1, maka di mana c adalah konstanta.

 

Teorema 2

Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka .

 

Teorema 3

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka .

 

Teorema 4

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka .

 

Teorema 5

Aturan integral substitusi

Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka  , di mana c adalah konstanta dan r ¹ ‒1.

 

Teorema 6

Aturan integral parsial

Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka .

 

Teorema 7

Aturan integral trigonometri

di mana c adalah konstanta.

 

Pembuktian Teorema 1

Untuk membuktikan Teorema 1 kalian dapat mendiferensialkan xn + 1 + c yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.

 

Pembuktian Teorema 3 dan 4

Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan  yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.

 

Contoh

Hitunglah integral dari 

Alternatif Pembahasan :

 

Pembuktian Teorema 6

Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi f(x) = u(x) · v(x) adalah .

Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan seperti berikut.

Karena

v′ (x) dx = dv   dan   u′ (x) dx = du

Maka persamaan dapat ditulis:

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Integral Tak Tentu. Please share...!

Back To Top