Deret Geometri Tak Terhingga

Selasa, 05 September 2023

B. 3. Deret Geometri Tak Terhingga

 

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1. Jumlah S dari dert geometri tak hingga adalah:

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian perhatikan, yaitu:

 

Kasus 1

Jika –1 < r ­< 1, maka rⁿ menuju 0.

Akibatnya, 

Deret geometri dengan –1 <­ r ­< 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).

Kasus 2
Jika r ­< – 1 atau r > 1, maka untuk n → ∞, nilai rⁿ makin besar.

Akibatnya, 

 

Deret geometri dengan r ­< – 1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar).

 

Contoh

1.    Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut!

Alternatif Pembahasan :

U₂ = 8, berarti ar = 8
U₅ = 64, berarti:
          ar⁴ = 64

          ar · r³ = 64
               8r³ = 64
                 r³ = 8

Didapat r = 2.
Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan ar = 8, kalian mendapatkan a · 2 = 8 sehingga a = 4.
Jumlah n suku pertama deret ini adalah:

     

Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah:

     

 

2.    Tentukanlah nilai x agar deret geometri 1 + x + x² + x³ … konvergen.

Alternatif Pembahasan :

Terlebih dahulu, kalian harus menentukan rasio dari deret tersebut.

Agar deret geometri tersebut konvergen, haruslah –1 ­< r ­< 1 sehingga –1 <­ x ­< 1.

 

3.    Niko Sentera memotong seutas tali menjadi 5 potong. Panjang kelima potong tali ini membentuk barisan geometri. Jika potongan yang paling pendek 2 cm dan potongan yang paling panjang 162 cm, berapakah panjang tali semula?

Alternatif Pembahasan :

Panjang potongan yang paling pendek merupakan U₁, sedangkan panjang potongan yang paling panjang merupakan U₅.
Jadi, U₁ = 2 cm dan U₅ = 162 cm.
Dari U₁ = 2 cm, didapat a = 2 cm.
Dari U₅ = 162 cm, didapat ar⁴ = 162 cm.
Oleh karena a = 2 cm, maka 2 · r⁴ = 162 cm. Didapat, r⁴ = 81.
Jadi, r = 3.
Panjang tali semula merupakan jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut, yaitu:

Jadi, panjang tali semula adalah 242 cm.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Deret Geometri Tak Terhingga. Please share...!