C. 2. Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma. Perhatikan contoh berikut ini.
· log
x + log (2x + 1) = 1 merupakan persamaan logaritma yang numerusnya
memuat variabel x
· 5log 4m + 5log m2 = 0
merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel m
· xlog
5 + xlog 2 = 2 merupakan persamaan logaritma yang bilangan pokoknya
memuat variabel x
· 2tlog
(t – 2) – 2tlog 2t = 2 merupakan persamaan
logaritma yang numerus dan bilangan pokoknya memuat variabel t,
Ada beberapa
bentuk persamaan logaritma ini, di antaranya:
a. alog f(x) = alog
m
Contoh
Tentukanlah penyelesaian 2log (x – 2) = 4.
Alternatif Pembahasan :
2log (x – 2) = 4
2log (x – 2) = 2log 24
x
– 2 = 24
x = 18
Jadi,
penyelesaian 2log (x – 2) = 4 adalah x = 18.
b. alog f(x) = blog
f(x)
Contoh
Tentukanlah
penyelesaian log (x2 – 3) = 4log (x2
– 3).
Alternatif Pembahasan :
log (x2 – 3) = 4log (x2 – 3)
x2 – 3 = 1
x2 = 4
x = –2 atau x = 2
Jadi,
penyelesaian log (x2 – 3) = 4log (x2
– 3) adalah x = –2 atau x = 2.
c. alog f(x) = alog
g(x)
Contoh
Tentukanlah
penyelesaian 7log (x2 – 2x + 3) = 7log
(4x – 2).
Alternatif Pembahasan :
7log (x2 – 2x + 3) = 7log (4x
– 2)
x2
– 2x + 3 = 4x – 2
x2
– 6x + 5 = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
x = 1 atau x = 5
Sekarang, selidiki apakah f(x) > 0 dan g(x) >
0?
· f(1) = 12
– 2 · 1 + 3 = 1 – 2 + 3 = 2 > 0
g(1) = 4 · 1 – 2 = 4 – 2 = 2 > 0
· f(5) = 52
– 2 · 5 + 3 = 25 – 10 + 3 = 18 > 0
g(5) = 4 · 5 – 2 = 20 – 2 = 18 > 0
Karena untuk
x = 1 dan x = 5, f(x) > 0 dan g(x)
> 0, maka x = 1 dan x = 5 merupakan penyelesaian.
Jadi,
penyelesaian 7log (x2 – 2x + 3) = 7log
(4x – 2) adalah x = 1 dan x = 5.
d. f(x)log g(x) = f(x)log
h(x)
Contoh
Tentukanlah
himpunan penyelesaian dari x – 1log (x + 2)
= x – 1log (x2 + 3x + 2)
Alternatif Pembahasan :
x – 1log (x + 2) = x –
1log (x2 + 3x + 2)
x + 2 = x2 + 3x +
2
x2
+ 2x = 0
x(x
+ 2) = 0
x = 0 atau x = 2
Sekarang,
selidiki apakah f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0, dan h(x)
> 0
f(0) = 0 – 1 = –1 < 0
f(–2) = –2 – 1 = –3 < 0
Oleh karena
untuk x = 0 dan x = –2, f(x) < 0, maka x = 0
atau x = –2 bukan penyelesaian.
Jadi,
himpunan penyelesaian dari x – 1log (x + 2)
= x – 1log (x2 + 3x + 2) adalah Æ.
e. Aplog2 f(x) + Bplog
f(x) +
C = 0
Terlebih
dahulu, misalkan y = plog f(x). Dari pemisalan
ini, diperoleh Ay2 + By + C = 0. Nilai y yang
kalian peroleh, substitusi kembali pada pemisalan y = plog f(x),
sehingga kalian memperoleh nilai x.
Contoh
Tentukan
penyelesaian 4log2 x – 4log x3
+ 2 = 0.
Alternatif Pembahasan :
4log2 x – 4log x3
+ 2 = 0.
4log2 x – 34log x + 2 = 0.
Misalkan y = 4log x, maka:
y2 – 3y + 2 =
0
(y – 1)(y – 2) = 0
y = 1 atau y = 2
Untuk
mendapatkan nilai x, substitusilah nilai y yang kalian peroleh ke
pemisalan y = 4log x.
y = 1 ⇒ 4log x = 1,
sehingga x = 4.
y = 2 ⇒ 4log x = 2,
sehingga x = 16.
Jadi,
penyelesaian 4log2 x – 4log x3
+ 2 = 0 adalah x = 4 atau x = 16.
Sumber
Thanks for reading Persamaan Logaritma. Please share...!