Persamaan Logaritma

Rabu, 27 September 2023

C. 2. Persamaan Logaritma

 

Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma. Perhatikan contoh berikut ini.

·     log x + log (2x + 1) = 1 merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel x

·     ⁵log 4m  + ⁵log m² = 0 merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel m

·     ^xlog 5 + ^xlog 2 = 2 merupakan persamaan logaritma yang bilangan pokoknya memuat variabel x

·     ^2tlog (t – 2) – ^2tlog 2t = 2 merupakan persamaan logaritma yang numerus dan bilangan pokoknya memuat variabel t,

 

Ada beberapa bentuk persamaan logaritma ini, di antaranya:

a.     ^alog f(x) = ^alog m

Contoh

Tentukanlah penyelesaian ²log (x – 2) = 4.

Alternatif Pembahasan :

²log (x – 2) = 4
²log (x – 2) = ²log 2⁴
          x – 2 = 2⁴
                x = 18

Jadi, penyelesaian ²log (x – 2) = 4 adalah x = 18.

 

b.    ^alog f(x) = ^blog f(x)

Contoh

Tentukanlah penyelesaian log (x² – 3) = ⁴log (x² – 3).

Alternatif Pembahasan :

log (x² – 3) = ⁴log (x² – 3)
        x² – 3 = 1
              x² = 4
               x = –2 atau x = 2

Jadi, penyelesaian log (x² – 3) = ⁴log (x² – 3) adalah x = –2 atau x = 2.

 

c.      ^alog f(x) = ^alog g(x)

Contoh

Tentukanlah penyelesaian ⁷log (x² – 2x + 3) = ⁷log (4x – 2).

Alternatif Pembahasan :

⁷log (x² – 2x + 3) = ⁷log (4x – 2)
          x² – 2x + 3 = 4x – 2
          x² – 6x + 5 = 0
       (x – 1)(x – 5) = 0
                        x = 1 atau x = 5
Sekarang, selidiki apakah f(x) > 0 dan g(x) > 0?

·      f(1) = 1² – 2 · 1 + 3 = 1 – 2 + 3 = 2 > 0
g(1) = 4 · 1 – 2 = 4 – 2 = 2 > 0

·     f(5) = 5² – 2 · 5 + 3 = 25 – 10 + 3 = 18 > 0
g(5) = 4 · 5 – 2 = 20 – 2 = 18 > 0

 

Karena untuk x = 1 dan x = 5, f(x) > 0 dan g(x) > 0, maka x = 1 dan x = 5 merupakan penyelesaian.

Jadi, penyelesaian ⁷log (x² – 2x + 3) = ⁷log (4x – 2) adalah x = 1 dan x = 5.

 

d.    ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x)

Contoh

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari ^{x – 1}log (x + 2) = ^{x – 1}log (x² + 3x + 2)

Alternatif Pembahasan :

^{x – 1}log (x + 2) = ^{x – 1}log (x² + 3x + 2)
             x + 2 = x² + 3x + 2
          x² + 2x = 0
         x(x + 2) = 0
                    x = 0 atau x = 2

Sekarang, selidiki apakah f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0, dan h(x) > 0
f(0) = 0 – 1 = ^–1 <­ 0
f(–2) = –2 – 1 = –3 <­ 0

Oleh karena untuk x = 0 dan x = –2, f(x) <­ 0, maka x = 0 atau x = –2 bukan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian dari ^{x – 1}log (x + 2) = ^{x – 1}log (x² + 3x + 2) adalah Æ.

 

e.      A^plog² f(x) + B^plog f(x) + C = 0

Terlebih dahulu, misalkan y = ^plog f(x). Dari pemisalan ini, diperoleh Ay² + By + C = 0. Nilai y yang kalian peroleh, substitusi kembali pada pemisalan y = ^plog f(x), sehingga kalian memperoleh nilai x.

 

Contoh

Tentukan penyelesaian ⁴log² x – ⁴log x³ + 2 = 0.

Alternatif Pembahasan :

⁴log² x – ⁴log x³ + 2 = 0.
⁴log² x – 3⁴log x + 2 = 0.
Misalkan y = ⁴log x, maka:
   y² – 3y + 2 = 0
(y – 1)(y – 2) = 0
                  y = 1 atau y = 2

Untuk mendapatkan nilai x, substitusilah nilai y yang kalian peroleh ke pemisalan y = ⁴log x.
y = 1 ⇒ ⁴log x = 1, sehingga x = 4.
y = 2 ⇒ ⁴log x = 2, sehingga x = 16.

Jadi, penyelesaian ⁴log² x – ⁴log x³ + 2 = 0 adalah x = 4 atau x = 16.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Persamaan Logaritma. Please share...!