Kegiatan Pembelajaran 1 Fungsi Komposisi – 1

Sabtu, 11 November 2023

Contoh 1:

Diketahui fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 dan 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(0, 1), (2, 4), (3, –1),(4, 5)} dan g = {(2, 0), (1, 2), (5, 3), (6, 7)}
Tentukanlah:

a)    (f ∘ g)

b)   (g ∘ f)

c)    (f ∘ g)(1)

d)   (g ∘ f)(4)

Alternatif Penyelesaian:

𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 dan 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶
Perhatikan diagram panah berikut:

a)    (f ∘ g) pemetaan oleh g dilanjutkan pemetaan oleh f.
Dari diagram di atas
g(1) = 2 dan f(g(1)) = f(2) = 4
g(2) = 0 dan f(g(2)) = f(0) = 1
g(5) = 3 dan f(g(5)) = f(3) = –1
sehingga (f ∘ g) = {(2, 1), (1, 4), (5, –1)}

b)   (g ∘ f) pemetaan oleh f dilanjutkan pemetaan oleh g.
f(0) = 1 dan g(f(0)) = g(1) = 2
f(4) = 5 dan g(f(4)) = g(5) = 3
Sehingga (g ∘ f) = {(0, 2), (4, 3)}

c)    (f ∘ g)(1) = 4

d)   (g ∘ f)(4) = 3

 

Contoh 2:
Diketahui : f : R → R ; f(x) = 2x² + 1,
g : R → R ; g(x) = x + 3
Tentukan :

a)     (f ∘ g)(x)

b)    (g ∘ f)(x)

c)     (f ∘ g)(1)

d)    (g ∘ f)(1)

Alternatif Penyelesaian:

a)     Pada (fog) x dipetakan lebih dulu oleh g(x) kemudian g(x) dipetakan oleh f(x).
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2(g(x))² + 1
              = f(x + 3)
              = 2(x + 3)² + 1
              = 2(x² + 6x + 9) + 1
              = 2x² + 12x + 19

b)    Pada (g o f) (x) dipetakan lebih dulu oleh f(x) kemudian f(x) dipetakan oleh g(x)
(g ∘ f)(x) = g(f(x))
              = g(2x² + 1)
              = 2x² + 1 + 3
              = 2x² + 4

c)     (f ∘ g)(1) = f(g(1))
              = f(4)
              = 2. (4)² +1
              = 2.16 + 1
              = 33

d)    (g ∘ f)(1) = g(f(1))
              = g(3)
              = 3 + 3
              = 6

Contoh 3:

Diketahui A = {x | x < –1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A → B dengan f(x) = –x + 1; g : B → C dengan g(x) = x² dan h = g ∘ f : A → C. Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!

Alternatif Penyelesaian:

h(x) = (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(–x + 1) = (–x + 1)²
h(x) = 64 → (–x + 1)² = 64 ↔ –x + 1 = ± 8
–x + 1 = 8 ↔ x = –7 atau –x + 1 = –8 ↔ x = 9

Karena A = {x| x < –1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = –7.

Contoh 4:

Fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑔 ∶ 𝑅 → 𝑅 dan ℎ: 𝑅 → 𝑅 yang didefinisikan oleh rumus
f(𝑥) = 𝑥 + 2, g(𝑥) = 3𝑥² dan ℎ(𝑥) = 2𝑥 – 3
Tentukan :

a)     (𝑔 ∘ 𝑓)(1) dan (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(1)

b)    rumus untuk (𝑔 ∘ 𝑓), (𝑓o𝑔) dan (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)

Alternatif Penyelesaian:

a)    (𝑔 ∘ 𝑓)(1) = g(f(1)
f(1) = 1 + 2 = 3
(𝑔 ∘ 𝑓)(1) = g(f(1)) = 3.32 = 3.9 = 27

Untuk (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(1) pemetaan pertama oleh ℎ(𝑥) = 2x + 3, dilanjutkan oleh g(x) = x² sehingga g(h(x)). Untuk selanjutnya g(ℎ(𝑥)) oleh f(x) sehingga f(g(h(x))).
h(1) = 2.(1) – 3 = –1
g(h(1)) = (h(1))² = (–1)² = 1
(f ∘ g ∘ h)(x) = (f(g(h(1))) = 2.(g(h(1))) + 3 = 2.(1) + 3 = 5

 

b)   (𝑔 ∘ 𝑓): 𝑥 → (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)  = 𝑔 (𝑓(𝑥)) 

                                            = 𝑔(𝑥 + 2) 

                                            = 3(𝑥 + 2)² 

                                            = 3𝑥² + 12𝑥 + 12
sehingga (𝑔 ∘ 𝑓): 𝑥 → 3𝑥² + 12𝑥 + 12.
(𝑓 ∘ 𝑔): 𝑥 → (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(3𝑥²) = 3𝑥² + 2
sehingga (𝑓 ∘ 𝑔): 𝑥 → 3𝑥² + 2.

Catatan:
Dari jawab di atas didapat fungsi 𝑔 ∘ 𝑓 dan 𝑓 ∘ 𝑔 tidak sama, sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa komposisi fungsi tidak bersifat komutatif.
(𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ): 𝑥 → (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥)  = 𝑓(𝑔(ℎ(𝑥)))
                                                    = 𝑓(𝑔(2𝑥 – 3))
                                                    = 𝑓(3(2𝑥 – 3)² 

                                                    = 𝑓(12𝑥² – 36𝑥 + 27)
                                                    = (12𝑥² – 36𝑥 + 27) + 2

                                                    = 12𝑥² – 36𝑥 + 29.
sehingga (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ): 𝑥 → 12𝑥² – 36𝑥 + 29.

 

Perhatikan kembali Contoh 1 s.d 4 di atas. Contoh 1 s.d 4 tersebut diberikan untuk menentukan fungsi komposisi jika fungsi-fungsi yang lain telah diketahui.
Berikut ini diberikan contoh bagaimana menentukan fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan suatu fungsi yang lain.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1 Fungsi Komposisi – 1. Please share...!