Setelah
kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan:
1.
Memahami
bentuk umum fungsi linear dan menggambar grafiknya
2.
Memahami
bentuk umum fungsi kuadrat dan menggambar grafiknya
3. Memahami bentuk umum fungsi rasional dan menggambar grafiknya.
B. Uraian Materi
Pada
pembelajaran kedua ini pembahasan akan kita fokuskan pada fungsi linear, fungsi
kuadrat dan fungsi rasional.
1. Fungsi Linear
Fungsi
linear merupakan salah satu fungsi yang sederhana dalam matematika. Banyak aplikasi
dari fungsi linear ini, seperti hubungan antara ketinggian pesawat dan suhu
udara, hubungan penawaran dengan ketersediaan barang, serta hubungan antara
jarak dan waktu tempuh. Dalam modul ini, fungsi linear dinyatakan sebagai
berikut.
f(x)
= mx + a
Dikatakan
linear karena grafiknya berupa garis. Grafik dari fungsi ini dapat Kalian
gambar dengan menentukan dua nilai c
yang berbeda serta menentukan pasangan titik salah satunya dengan jalan membuat
tabelnya.
Contoh 2.1
Tentukan rumus
untuk fungsi linear f jika diberikan
pasangan nilai seperti tabel berikut.
Alternatif Penyelesaian:
Karena f fungsi linear, dia dapat dinyatakan
sebagai f(x) = mx + a. Oleh karena
itu, Kalian akan memperoleh dua persamaan.
(–1)
= m.( –1) + a … (1)
8
= m.2 + a … (2)
Jika
persamaan (2) dikurangi dengan persamaan (1), akan akan peroleh persamaan
9
= m.3
yang memberikan penyelesaian m = 3.
Substitusi
nilai ini ke persamaan (2) maka di peroleh persamaan
8
= 3.2 + a,
yang memberikan penyelesaian a = 2.
Jadi, rumus
untuk f(x) sebagai berikut f(x) = 3x + 2.
Variabel
pada fungsi linear dan juga pada fungsi-fungsi lain tidak harus berupa simbol x, tetapi dapat berupa simbol yang lain,
seperti t, z, dan w. Khusus untuk variabel t, variable ini biasanya digunakan
sebagai simbol dari waktu.
Contoh 1.2
Hubungan antara
waktu dan jarak yang ditempuh suatu kendaraan merupakan fungsi linear g. Lalu, diberikan pasangan nilai
seperti tabel berikut.
Tentukan
rumus hubungan waktu dan jarak tempuh kendaraan tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Seperti pada
Contoh 1.1, karena g fungsi linear, dia dapat dinyatakan sebagai g(t)
= mt
+ a. Oleh karena itu, di peroleh dua persamaan, yaitu:
200 = m.5 + a
400 = m.10 + a
Periksa
bahwa penyelesaian bersama dari persamaan di atas adalah g(t) = 40t. Jadi, hubungan waktu dan jarak tempuh
kendaraan adalah g(t) = 40t.
Pada fungsi linear bentuk, jika f(x) dinyatakan sebagai y, yaitu:
Contoh 2.3
Tentukan
persamaan garis melalui titik (1, 1) dan (2, 0). Tentukan grafiknya.
Alternatif Penyelesaian:
Persamaan garis
sebagai y = mx + a. Kalian akan peroleh
dua persamaan berikut.
1
= m.1 + a
0
= m.2 + a.
Penyelesaian
bersama dua persamaan tersebut adalah m
= –1 dan a = 2. Jadi, persamaan garis
yang diminta adalah y = –m + 2.
Grafik persamaan garis diperoleh dengan menghubungkan titik-titik yang dilaluinya
seperti gambar berikut ini.
Perhatikan
grafik berikut.
Pada gambar
di atas, dapat dilihat berbagai kemiringan garis terhadap sumbu x.
Kemiringan garis disebut sebagai gradien. Gradien merupakan kooefisien
dari variabel m. Kalian tentunya bertanya bagaimana cara menentukan gradien
garis?
Jika kita
perhatikan bahwa gradien adalah garis yang dilihat relatif sumbu x, terutama untuk garis dengan persamaan
y = 2 atau ditulis sebagai y = 0.x + 2, Maka dapat diduga bahwa gradien garis dapat ditentukan
dengan perbandingan panjang segmen garis pada sumbu y dengan panjang segmen
garis pada sumbu x dari dua titik tertentu. Sehingga jika kita mempunyai dua
titik (x1, y1) dan (x2, y2)
gradien garis dapat di rumuskan sebagai berikut.
Lihat kembali pada contoh 3, m = –1,
diperoleh dari rumus gradien garis tersebut adalah:
Untuk lebih
jelas coba Kalian perhatikan grafik berikut:
f(x) = mx + b → f(p) = m.p + b
f(q) = m.q
+ b –
f(p) – f(q) = m(p – q)
Dari jabaran
di atas tampak bahwa gradien tersebut merupakan nilai perbandingan antara selisih
komponen y dan x dari dua sebarang dua titik pada garis tersebut.
Jika
persamaan garis y = ax + b maka gradiennya
adalah a dan melalui titik (0, b). Secara umum sebuah garis lurus (yang
tidak sejajar atau berimpit dengan sumbu Y)
persamaannya adalah y = mx + n,
dengan m adalah gradien (koefisien
arah) garis yang menunjukkan kemiringan garis.
Garisnya condong ke kanan jika dan hanya jika m > 0 dan condong ke kiri jika dan hanya jika m < 0.
Contoh 2.4
Gambarlah suatu
garis yang mempunyai gradien m = 3
dan titik potong dengan sumbu Y
adalah -3.
Alternatif Penyelesaian:
Persamaan garis
yang dimaksud adalah y = 3x – 3.
Untuk menggambarnya, Anda tentukan dua titik yang dilaluinya seperti berikut.
x = 1 → y = 0, x = 2 → y = 3.
Jadi, dua titik yang dilaluinya adalah (1,0) dan (2,3). Oleh karena itu, Kalian
peroleh gambar seperti berikut ini.
Gradien/kemiringan
garis dari garis tersebut dengan rumus adalah:
Sama dengan
gradien yang diketahui, yaitu m = 3.
Contoh 2.5
Gambarlah suatu
garis yang melalui titik (2, 3) dan mempunyai gradien ½.
Alternatif penyelesaian:
Misalnya,
persamaan garis yang dimaksud adalah y =
mx + a.
Karena garis mempunyai gradien ½, maka persamaan garis menjadi y = ½ x + a.
Berikutnya garis melalui (2, 3). Maka itu, Anda peroleh persamaan 3 = ½ 2 + a ↔ a = a.
Jadi persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan gradient ½ adalah y = ½ x + 2.
Gambar garis seperti berikut ini.
Contoh 2.6
Diberikan
persamaan linear 2x + 3y – 2 = 0. Tentukan gradien, titik
potong dengan sumbu y dan gambar
grafiknya.
Alternatif Penyelesaian:
Ubah 2x
+ 3y – 2 = 0 ke bentuk y = mx + a.
2x + 3y – 2 = 0 ↔ 3y = –2x + 2
Jadi
gradiennya 
.
Titik potong
dengan sumbu Y: 
.
Dari contoh
di atas, jika persamaan berbentuk AX + BY
+ C = 0, maka gradiennya adalah 
dan titik potong dengan sumbu Y adalah 
.
Jika diketahui suatu persamaan garis, dapat ditentukan gradien garis dan titik potong garis tersebut dengan sumbu y.
Sumber
Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 2: Fungsi Linier, Fungsi Kuadrat Dan Fungsi Rasional. Please share...!
