Latihan Fungsi Komposisi - 2

Rabu, 15 November 2023

II. Uraian

1.    Diketahui f : R → R, g : R → R, dan h : R → R ditentukan oleh rumus f (x) = 2x + 4, g(x) = 3x, dan h(x) = x² + 1. Tentukan:

a.     ((f ∘ g) o h) (x);

b.     (f ∘ (g ∘ h)) (x)

 

Alternatif Penyelesaian:

a.    (f ∘ g)(x) = f (g(x)) = f (3x) = 2 (3x) + 4 = 6x + 4

((f ∘ g) ∘ h)(x)  = (f ∘ g) (h(x))
                        = (f ∘ g) (x² + 1)
                        = 6 (x² + 1) + 4
                        = 6x² + 6 + 4
                        = 6x² + 10

Jadi, ((f ∘ g) ∘ h)(x) = 6x² + 10.

 

b.    (g ∘ h) (x) = g (h (x)) = g (x² + 1) = 3 (x² + 1) = 3x² + 3

(f ∘ (g ∘ h)) (x) = f ((g ∘ h) (x))
                        = f (3x² + 3)
                        = 2 (3x² + 3) + 4
                        = 6x² + 6 + 4
                        = 6x² + 10

Jadi, (f ∘ (g ∘ h)) (x) = 6x² + 10.

 

2.    Dari fungsi f dan g diketahui g(x) = x – 1 dan (f o g)(x) = 4x² – x. Jika f (a) = 5 , maka tentukan nilai a !

 

Alternatif Penyelesaian:

(f ∘ g)(x) = 4x² – x
f (g(x)) = 4x² – x
f (x – 1) = 4x² – x
f (x) = 4(x +1)² – (x +1)
f (x) = 4x² + 7x + 3
f (a) = 5
4a² + 7a + 3 = 5
4a² + 7a – 2 = 0
(4a – 1)(a + 2) = 0
a = ¼  atau  a = –2

Jadi, nilai a yang diminta adalah –2.

 

3.    Suatu pabrik kertas dengan bahan dasar kayu (x) memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan bahan kertas setengah jadi (m) dengan mengikuti fungsi m = f(x) = x² – 3x – 2. Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan kertas mengikuti fungsi g(m) = 4m + 2 dengan x dan m dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 4 ton, tentukan banyak kertas yang dihasilkan !

 

Alternatif Penyelesaian:

Rumus fungsi pada produksi tahap I adalah 𝑚 = (𝑥) = 𝑥² – 3𝑥 – 2
Untuk 𝑥 = 4, diperoleh:
𝑚 = 𝑓(𝑥) = 𝑥² – 3𝑥 – 2
     = 4² – 3.4 – 2
     = 16 – 12 – 2 = 2
Hasil produksi tahap I adalah 2 ton bahan kertas setengah jadi.
Hasil produksi tahap II

 

Rumus fungsi pada produksi tahap II adalah (𝑚) = 4𝑚 + 2
Karena hasil produksi pada tahap I akan dilanjutkan pada produksi tahap II, maka hasil produksi tahap I menjadi bahan dasar produksi tahap
II, sehingga diperoleh:
𝑔(𝑚) = 4𝑚 + 2
         = 4.2 + 2

         = 10
Dengan demikian, hasil produksi tahap II adalah 10 ton kertas.

Jadi banyaknya kertas yang dihasilkan adalah 10 ton.

 

4.    Sebuah perusahaan menggunakan dua buah mesin untuk mengubah bahan mentah menjadi bahan jadi. Mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi, dan mesin II mengubah dari bahan setengah jadi menjadi bahan jadi. Mesin I dianalogikan dengan fungsi f(x) = 2x – 3 dan mesin II dianalogikan dengan fungsi g(x) = x² – x

a)    Apalagi bahan mentah yang digunakan sebanyak x, tentukan persamaan hasil bahan jadi.

b)   Apabila bahan mentah yang digunakan sebanyak 100 kg, berapa banyak hasil produksi?

 

Alternatif Penyelesaian:

a)     Persamaan bahan jadi adalah:

(g ∘ f)(x) = g(f(x) = (2x – 3)² – (2x – 3)
g(f(x) = 4x² – 12x + 9 – 2x + 3
g(f(x) = 4x² – 14x + 12

b)    Banyak bahan mentah yang digunakan 100 kg.
(g ∘ f)(100) = 4.1002 – 14.100 + 12

           = 40.000 – 1400 + 12

           = 38.612

Jadi banyaknya hasil produksi adalah: 38.612

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Fungsi Komposisi - 2. Please share...!