Latihan Soal Bentuk Essay Kedudukan Dua Lingkaran

Rabu, 06 November 2024

Kerjakan soal-soal berikut ini dengan tepat dan benar.

1.    Tunjukkan bahwa lingkaran L₁ ≡ x² + y² + 10x + 4y – 7 = 0 dan L₂ ≡ x² + y² – 18x + 4y + 21 = 0 bersinggungan luar. Tentukan titik singgung tersebut.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk menentukan jenis kedudukan kedua lingkaran, maka perlu dibandingkan jarak antara pusat P₁P₂ dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran r₁ + r₂.

Jarak P₁P₂ = jarak antara titik (−5, −2) dan (9, −2).

Jumlah jari-jari r₁ + r₂ = 6 + 8 = 14

Karena P₁P₂ = r₁ + r₂, maka kedua lingkaran bersinggungan luar.

Untuk menentukan koordinat titik singgung kedua lingkaran dapat digunakan rumus perbandingan segmen garis berikut ini.

Jadi koordinat titik singgung kedua lingkaran adalah (1,−2).

 

2.    Tunjukkan bahwa lingkaran L₁ ≡ x² + y² + 6x – 2y – 54 = 0 dan L₂ ≡ x² + y² – 22x – 8y + 112 = 0 tidak saling berpotongan.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk menentukan jenis kedudukan kedua lingkaran, maka perlu dibandingkan jarak antara pusat P₁P₂ dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran r₁ + r₂.

Jarak P₁P₂ = jarak antara titik (−3, 1) dan (11, 4).

Jumlah jari-jari r₁ + r₂ = 8 + 5 = 13.

Karena P₁P₂ > r₁ + r₂, maka kedua lingkaran tidak saling berpotongan.

 

3.    Lingkaran-lingkaran x² + y² – 16x – 20y + 115 = 0 dan x² + y² + 8x – 10y + 5 = 0 saling bersinggungan. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik singgung tersebut dan memiliki jari-jari ½.

 

Alternatif Penyelesaian:

Untuk menentukan koordinat titik singgung kedua lingkaran dapat digunakan rumus perbandingan segmen garis berikut ini.

Jadi koordinat titik singgung kedua lingkaran adalah .

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik  dan memiliki jari-jari ½ adalah:

 

4.    Mesin dalam sebuah pabrik penggilingan tepung memiliki roda A yang menggerakkan roda B melalui sebuah rantai. Dengan sumbu-sumbu koordinat, ditunjukkan roda A memiliki jari-jari 10 unit dan menyentuh kedua sumbu.

a.     Tentukan persamaan roda A.

b.     Jika roda B memiliki persamaan x² + y² + 28x + 147 = 0 dan 1 unit = 10 cm, hitunglah:

(i)  jarak antara pusat kedua roda

(ii) celah terpendek di antara kedua roda

        

Alternatif Penyelesaian:

a.     Persamaan roda A

Jari-jari roda A adalah r_A = 10. Roda A menyinggung kedua sumbu, berarti titik pusat roda A adalah .

Jadi, persamaan roda A adalah:

(𝑥 − 10)² + (𝑦 − 10)² = 10²

(𝑥 − 10)² + (𝑦 − 10)² = 100

 

b.     Persamaan roda B adalah 𝑥² + 𝑦² + 28𝑥 + 147 = 0

Pusat roda B adalah 

Jari-jari roda B adalah 

 

(i)      Jarak antara pusat kedua roda adalah Jarak P_AP_B = jarak antara titik (10, 10) dan (−14, 0).

Jadi, jarak antara kedua pusat roda adalah 26 × 10 cm = 260 cm.

(ii)   Celah terpendek di antara kedua roda adalah:

P_AP_B – (r_A + r_B) unit = 26 – (10 + 7) = 26 – 17 = 9 unit.

Jadi, celah terpendek di antara kedua roda adalah 9 × 10 cm = 90 cm.

 

 “Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Soal Bentuk Essay Kedudukan Dua Lingkaran. Please share...!