Latihan Soal Bentuk Essay Kedudukan Dua Lingkaran – 1

Kamis, 07 November 2024

 

5.    Surat kabar dicetak oleh lithograph, cetakan berita yang harus bergerak melalui tiga buah pemutar (roller), yang diilustrasikan pada gambar sebagai tiga buah lingkaran. Pusat-pusat A, B, dan C dari ketiga lingkaran adalah kolinear (terletak pada suatu garis lurus). Persamaan lingkaran luar masing-masing adalah (x + 12)² + (y + 15)² = 25 dan (x – 24)² + (y – 12)² = 100. Tentukan persamaan lingkaran di tengah.

Alternatif Penyelesaian:

Lingkaran A: (x + 12)² + (y + 15)² = 25

Pusat lingkaran A yaitu P_A = (−12, −15)

Jari-jari lingkaran A yaitu: 

Lingkaran C: (x – 24)² + (y – 12)² = 100

Pusat lingkaran C yaitu P_C = (24, 12)

Jari-jari lingkaran C yaitu: 

Jarak antara pusat lingkaran A dan C adalah P_AP_C.

Lingkaran A, B, dan C terletak pada suatu garis lurus, sehingga diameter lingkaran B adalah P_AP_C – (r_A + r_C) = 45 – (5 + 10) = 30.

Sehingga diperoleh jari-jari lingkaran B yaitu r_B = ½(30) = 15.

Titik pusat lingkaran B dapat diperoleh dari perbandingan AB : BC = 20 : 25.

Jadi, persamaan lingkaran B dengan pusat PB = (4, −3) dan jari-jari r_B = 15 adalah:      (𝑥 − 4)² + (𝑦 − (−3))² = 152

(𝑥 − 4)² + (𝑦 − (−3))² = 225

 

6.    Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran L₁ ≡ x² + y² + 2x + 2y – 2 = 0 dan L₂ ≡ x² + y² + 4x – 8y + 4 = 0, serta melalui titik (2, –1).

Alternatif Penyelesaian:

L₁ ≡ x² + y² + 2x + 2y – 2 = 0 dan L₂ ≡ x² + y² + 4x – 8y + 4 = 0

L¹ + λL₂ = 0 dengan λ sebagai parameter

x² + y² + 2x + 2y – 2 + λ( x² + y² + 4x – 8y + 4) = 0 …………. (*)

Persamaan (*) melalui titik (2, –1), berarti x = 2 dan y = –1 dapat disubstitusi ke persamaan (*) untuk menghitung parameter λ.

2² + (–1)² + 2(2) + 2(–1) – 2 + λ(2² + (–1)² + 4(2) – 8(–1) + 4) = 0

4 + 1 + 4 – 2 – 2 + λ(4 + 1 + 8 – 8 + 4) = 0

5 + λ(9) = 0

9λ = −5

 

Substitusi nilai parameter  ke persamaan (*) untuk memperoleh persamaan lingkaran tersebut.

 

⇔ 9x² + 9y² + 18x + 18y – 18 – 5(x² + y² + 4x – 8y + 4) = 0

⇔ 9x² + 9y² + 18x + 18y – 18 – 5x² – 5y² – 20x + 40y – 20 = 0

⇔ 4x² + 4y² – 2x + 58y – 38 = 0

⇔ 2x² + 2y² – x + 29y – 19 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah 2x² + 2y² – x + 29y – 19 = 0.

 

7.    Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran L₁ ≡ x² + y² + 2x + 3y – 7 = 0 dan L₂ ≡ x² + y² + 3x – 2y – 1 = 0, serta melalui titik (1, 2).

Alternatif Penyelesaian:

L₁ ≡ x² + y² + 2x + 3y – 7 = 0 dan L₂ ≡ x² + y² + 3x – 2y – 1 = 0

L₁ + λL₂ = 0 dengan λ sebagai parameter

x² + y² + 2x + 3y – 7 + λ(x² + y² + 3x – 2y – 1) = 0 …………. (*)

Persamaan (*) melalui titik (1, 2), berarti x = 1 dan y = 2 dapat disubstitusi ke persamaan (*) untuk menghitung parameter λ.

1² + 2² + 2(1) + 3(2) – 7 + λ(1² + 2² + 3(1) – 2(2) – 1) = 0

1 + 4 + 2 + 6 – 7 + λ(1 + 4 + 3 – 4 – 1) = 0

6 + λ(3) = 0

3λ = −6

λ = −2

Substitusi nilai parameter λ = −2 ke persamaan (*) untuk memperoleh persamaan lingkaran tersebut.

x² + y² + 2x + 3y – 7 + 2( x² + y² + 3x – 2y – 1) = 0

⇔ x² + y² + 2x + 3y – 7 + 2x² + 2y² + 6x – 4y – 2 = 0

⇔ 3x² + 3y² + 8x – y – 9 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah 3x² + 3y² + 8x – y – 9 = 0.

 

 

 “Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Soal Bentuk Essay Kedudukan Dua Lingkaran – 1 . Please share...!