Rangkuman Pembagian Polinomial

Selasa, 26 November 2024

C. Rangkuman Pembagian Polinomial

Berdasarkan uraian materi pada kegiatan pembelajaran 2, dapat disimpulkan:

1.    Misalkan suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi oleh 𝑝(𝑥) menghasilkan ℎ(𝑥) dan sisanya 𝑠(𝑥), maka dapat ditulis 𝒇(𝒙) = 𝒑(𝒙)∙𝒉(𝒙) + 𝒔(𝒙)

2.    Proses pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu cara bersusun dan cara sintetik (cara Horner)

3.    Pembagian polinomial (𝑥) dengan pembagi (𝑥 − 𝑘) menghasilkan hasil bagi ℎ(𝑥) dan sisa 𝑠(𝑥) berderajat nol atau 𝑠(𝑥) = konstanta, dituliskan sebagai berikut.

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑘)∙ℎ(𝑥) + 𝑠(𝑥)

4.     Jika polinomial 𝑓(𝑥) dibagi (𝑎𝑥 + 𝑏) memberikan hasil bagi ℎ(𝑥) dan sisa 𝑠, maka diperoleh hubungan:

Hasil bagi (𝑥) oleh (𝑎𝑥 + 𝑏) adalah  

Sisa pembagian 𝑠 adalah 

5.   Menentukan derajat hasil bagi dan sisa pada pembagian polinomial 𝑓(𝑥) dengan pembagi bentuk linear (𝑥 – 𝑘) atau (𝑎𝑥 + 𝑏) berlaku:

·        Derajat hasil bagi ℎ(𝑥) maksimum satu lebih kecil dari pada derajat  suku banyak 𝑓(𝑥).

·        Derajat sisa 𝑠 maksimum satu lebih kecil dari pada derajat pembagi.

6.    Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat 𝒂𝒙^𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 dengan 𝒂 ≠ 𝟎

Jika polinomial (𝑥) dibagi dengan 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎 ≠ 0, maka hasil bagi dan sisa pembagian polinomial dapat ditentukan dengan cara pembagian bersusun, skema Horner, dan skema Horner kino.

a. Cara Bersusun

Secara umum, algoritma pembagian suku banyak (𝑥) oleh bentuk kuadrat (𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐) dapat dinyatakan dengan persamaan :

f(x) = 𝑎(𝑥 − 𝑘₁)(𝑥 − 𝑘₂)h(x) + s(x)

b. Cara Skema Horner

Pembagian polinomial dengan cara skema Horner hanya dapat digunakan untuk pembagi yang dapat difaktorkan. Misalkan polinomial (𝑥) dibagi oleh bentuk kuadrat 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 yang dapat difaktorkan. Kita dapat menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dengan cara skema Horner, yuk perhatikan langkah-langkahnya.

Langkah-langkah pembagian polinomial dengan cara skema Horner

1.    Misalkan 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat difaktorkan dan ditulis sebagai: 𝑎(𝑥 − 𝑘₁)(𝑥 − 𝑘₂) , dengan 𝑎 ≠ 0 

2.    Langkah awal, kita bagi (𝑥) dengan (𝑥 − 𝑘₁). Pada langkah ini diperoleh:

(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝑘₁)ℎ₁(𝑥) + 𝑠₁

3.    Hasil bagi ℎ₁(𝑥) dibagi lagi dengan (𝑥 − 𝑘₂). Pada langkah ini diperoleh:

ℎ₁(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝑘₂)ℎ₂(𝑥) + 𝑠₂

4.    Substitusi ℎ₁(𝑥) ke bentuk persamaan 𝑓(𝑥), diperoleh:

c. Cara Skema Horner - Kino

Skema Horner – kino dicetuskan oleh Sukino, Horner kino merupakan pengembangan dari skema Horner kino. Pada skema Horner terbatas untuk pembagi yang bias difaktorkan sedangkan untuk skema Horner kino dapat diterapkan untuk pembagi apapun.

7.    Jika polinomial yang dibagi berderajat 𝑛 dan pembaginya berderajat 𝑚, maka diperoleh:

·        Hasil bagi berderajat 𝑛 − 𝑚

·        Sisa pembagian berderajat 𝑚 − 1 (derajat dari sisa pembagian kurang satu dari derajat pembagi)

8.    Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk Linier (𝒙 − 𝒌)

Jika polinomial (𝑥) berderajat 𝑛 dibagi dengan (𝑥 − 𝑘), maka sisa pembagian 𝑠 ditentukan oleh 𝑠 = 𝑓(𝑘)

9.    Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk Linier (𝒂𝒙 + 𝒃)

Jika polinomial (𝑥) berderajat 𝑛 dibagi dengan (𝑎𝑥+𝑏), maka sisa pembagian 𝑠 ditentukan oleh 

10.  Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk (𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃)

Sisa pembagian polinomial (𝑥) oleh (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) adalah 𝑠(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 dengan 𝑓(𝑎) = 𝑝𝑎 + 𝑞 dan 𝑓(𝑏) = 𝑝𝑏 + 𝑞

11.  Teorema Faktor

a.     Suatu fungsi suku banyak 𝑓(𝑥) memiliki faktor (𝑥 – 𝑘) jika dan hanya jika 𝑓(𝑘) = 0

b.     Suatu fungsi suku banyak (𝑥) memiliki faktor (𝑎𝑥 + 𝑏) jika dan hanya jika .

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Rangkuman Pembagian Polinomial. Please share...!