Kegiatan Pembelajaran 2: Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

Kamis, 26 September 2024

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, diharapkan Ananda dapat menentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berbentuk 𝐴𝑥²  + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0, 𝐴 ≠ 0.

B. Uraian Materi

Persamaan trigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat.

Pengubahan bentuk persamaan trigonometri ke bentuk persamaan kuadrat trigonometri memerlukan wawasan Ananda tentang identitas trigonometri seperti misalnya:

sin² x + cos² x = 1

1 + tan² x = sec² x

Jika ada kata persamaan kuadrat, tentu saja diperlukan kompetensi untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut, misalnya dengan pemfaktoran maupun melengkapkan kuadrat sempurna.

Perlu diingat pula rentang nilai untuk sinus dan cosinus adalah:

−1 ≤ sin 𝛼 ≤ 1

−1 ≤ cos 𝛼 ≤ 1

Agar lebih jelas, cermati beberapa contoh berikut.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian untuk 2 cos x − cos x − 2 = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

Alternatif penyelesaian:

Misal          𝑝 = cos 𝑥

2 cos x − cos x − 2 = 0

𝑝² − 𝑝 − 2 = 0

(𝑝 − 2)(𝑝 + 1) = 0

𝑝₁ = 2 atau 𝑝₂ = −1

cos 𝑥 = 2 atau cos 𝑥 = −1

(cos 𝑥 = 2 tidak memenuhi)     (Ingat, nilai −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1)

Sehingga cos 𝑥 = −1

𝑥 = 180° + 𝑘. 360°

diperoleh nilai 𝑥 = 180° atau himpunan penyelesaiannya {180°}.

Contoh 2:

2 – 2 cos² α = sin α untuk 0° ≤ 𝛼 ≤ 360°

Alternatif penyelesaian:

2 – 2 cos² α = sin α

2 (1− cos² α) = sin α       (sin x + cos x = 1)

2 sin² = sin 𝛼

2 sin² – sin 𝛼 = 0

sin 𝛼(2 sin 𝛼 – 1)= 0

sin 𝛼 = 0 atau sin 𝛼 = ½  

a.    sin 𝛼 = 0

𝛼 = 0° + 𝑘. 360°

untuk 𝑘 = 0 diperoleh 𝛼₁ = 0°

untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝛼₂ = 360° 𝛼 = 180° + 𝑘. 360°

untuk 𝑘 = 0 diperoleh 𝛼₃ = 180°

b.    sin 𝛼 = ½

Kuadran I 𝛼 = 30° + 𝑘. 360°

untuk 𝑘 = 0 diperoleh 𝛼₄ = 30°

Kuadran II 𝛼 = (180° − 30°) + 𝑘. 360°

𝛼 = 150° + 𝑘. 360°

untuk 𝑘 = 0 diperoleh 𝛼₅ = 150°

Himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {0°, 30°, 150°, 180°, 360°}.

C. Rangkuman

Hal yang harus diperhatikan dalam mencari solusi persamaan trigonometri berbentuk 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0

1.     Rentang nilai sinus dan kosinus:

          −1 ≤ sin 𝛼 ≤ 1

          −1 ≤ cos 𝛼 ≤ 1

2.     Identitas trigonometri yang membantu penyelesaian

sin² x + cos² x = 1

1 + tan² x = sec² x

 

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 2: Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat. Please share...!