Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk Linier (𝒙 − 𝒌)

Kamis, 21 November 2024

Teorema Sisa

1.     Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk Linier (𝒙 − 𝒌)

Jika suatu polinomial (𝑥) dibagi oleh (𝑥 − 𝑘), maka akan diperoleh hasil bagi ℎ(𝑥) dan sisi pembagian 𝑠, yang memenuhi hubungan 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑘)∙ℎ(𝑥) + 𝑠.

Karena pembagi berderajat 1 yaitu (𝑥 − 𝑘), maka sisa pembagi 𝑠 maksimum berderajat nol, yaitu sebuah konstanta. Sisa pembagian 𝑠 dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut.

Jika polinomial (𝑥) berderajat 𝑛 dibagi dengan (𝑥 − 𝑘), maka sisa pembagian 𝑠 ditentukan oleh 𝑠 = (𝑘)

Bukti :

Anak-anakku untuk membuktikan teorema di atas, kita perhatikan derajat pembagi (𝑥 − 𝑘) adalah 1, karena derajat pembagi 1 maka sisa pembagiannya berderajat 0 yang merupakan suatu konstanta 𝑠 sehingga diperoleh: (𝑥) = (𝑥 − 𝑘)ℎ(𝑥) + 𝑠.

Untuk 𝑥 = 𝑘 maka:

  𝑓(𝑘) = (𝑘 − 𝑘)ℎ(𝑘) + 𝑠

= 0∙ℎ(𝑘) + 𝑠

= 0 + 𝑠

= 𝑠

Terbukti sisa = 𝑠 = (𝑘)

Berikut merupakan contoh soal penggunaan teorema sisa untuk pembagi bentuk linear (𝑥 − 𝑘), yuk kita simak

Contoh Soal 1

Sisa pembagian jika suku banyak (𝑥) = 2𝑥³ − 4𝑥² + 𝑥 + 8 dibagi oleh (𝑥 + 2) adalah …

Alternatif Penyelesaian:

Suku banyak (𝑥) = 2𝑥³ − 4𝑥² + 𝑥 + 8 dibagi oleh (𝑥 + 2) → 𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = −2, karena pembagi berbentuk linear maka menurut teorema sisa diperoleh sisa 𝑠 = (−2).

Substitusi 𝑥 = −2 ke suku banyak (𝑥)        

𝑠 = (−2)

   = 2(−2)³ − 4(−2)² + (−2) + 8

   = 2(−8) − 4(4) −2 + 8

   = −16 – 16 – 2 + 8

   = −26

Jadi, sisa pembagian 𝑓(𝑥) oleh (𝑥 + 2) adalah −26.

Contoh Soal 2

Diketahui (𝑥) = 3𝑥³ + (4 + 𝑚)𝑥² + 𝑚𝑥 + 6.  Tentukan nilai 𝑚 agar (𝑥) dibagi oleh (𝑥 + 2) memberikan sisa  –10 …

Alternatif Penyelesaian:

(𝑥) = 3𝑥³ + (4 + 𝑚)𝑥² + 𝑚𝑥 + 6

Jika (𝑥) dibagi oleh (𝑥 + 2), maka menurut teorema sisa berlaku:

𝑠 = (−2)

   = 3(−2)³ + (4 + 𝑚)(−2)² + 𝑚(−2) + 6

   = 3(−8) + (4 + 𝑚)(4) − 2𝑚 + 6

   = −24 + 16 + 4𝑚 − 2𝑚 + 6

   = −2 + 2𝑚

Diketahui sisa 𝑠 = −10 maka:

     −2 + 2𝑚 = −10

             2𝑚 = −10 + 2

             2𝑚 = −8

              

Jadi, nilai 𝑚 adalah −4.

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematik

Thanks for reading Teorema Sisa untuk Pembagi Bentuk Linier (𝒙 − 𝒌). Please share...!