Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Polinomial

Minggu, 01 Desember 2024

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Polinomial

Jumlah dan hasil kali akar-akar suatu polinomial dapat ditentukan tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial dijelaskan dalam teorema berikut.

Misalkan 𝑥₁, 𝑥₂, dan 𝑥₃ adalah akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga.

f (x) = A𝑥³ + Bx² + C𝑥 + D = 0 …(1)

Maka persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

Ruas kiri persamaan (1) dan (2) disamakan, sehingga diperoleh persamaan :

Dengan cara yang sama, kita dapat menemukan rumus jumlah dan hasil kali akar– akar persamaan suku banyak yang berderajat empat atau lebih menggunakan teorema vieta berikut.

Teorema Vieta

Anak-anakku, untuk lebih memahami jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial, mari kita simak contoh soal berikut.

Contoh Soal

Akar-akar persamaan suku banyak 5𝑥³ – 10𝑥² + 2𝑥 + 3 = 0 adalah  1,𝑥2,dan 𝑥3. Tentukan nilai dari :

a.     𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃

b.     𝑥₁𝑥₂ + 𝑥₁𝑥₃ + 𝑥₂𝑥₃

c.      𝑥₁𝑥₂ 𝑥₃

Pembahasan:

5𝑥³ – 10𝑥² + 2𝑥 + 3 = 0

Dari persamaan polinomial tersebut diperoleh:

𝐴 = 5, 𝐵 = −10, 𝐶 = 2, dan 𝐷 = 3

Contoh Soal

Akar –akar persamaan suku banyak (𝑥) = 𝑥³ − 4𝑥² + 𝑥 + 6 = 0 adalah  𝑥1,𝑥2,dan 𝑥3.  Jika 𝑥1=2, tentukan nilai  dari :

a.     𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃

b.     𝑥₁𝑥₂ + 𝑥₁𝑥₃ + 𝑥₂𝑥₃

c.      𝑥₁𝑥₂ 𝑥₃

Pembahasan:

(𝑥) = 𝑥³ − 4𝑥² + 𝑥 + m = 0

dari nilai 𝑥₁ = 2 dapat diperoleh nilai 𝑚 dengan cara mensubstitusi 𝑥 = 2 ke 𝑓(𝑥).

Karena 𝑚 = 6 maka (𝑥) = 𝑥³ − 4𝑥² + 𝑥 + 6 = 0 diperoleh: 𝐴 = 1, 𝐵 = −4, 𝐶 = 1,dan 𝐷 = 6.

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Polinomial. Please share...!