Menentukan akar-akar rasional persamaan suku banyak 𝒇(𝒙) = 𝟎

Sabtu, 30 November 2024

 

2.     Menentukan akar-akar rasional persamaan suku banyak 𝒇(𝒙) = 𝟎

Langkah-langkah menentukan akar-akar rasional persamaan polinomial f (𝑥) = 0 adalah sebagai berikut:

Anak-anakku, untuk lebih memahami cara menentukan akar-akar rasional dari persamaan polinomial (𝑥) = 0, mari kita simak contoh soal berikut.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan polynomial 𝑥⁴ − 15𝑥² − 10𝑥 + 24 = 0

Pembahasan:

Misalkan (𝑥) = 𝑥⁴ − 15𝑥² − 10𝑥 + 24  

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari polinomial (𝑥) ikuti langkah-langkah berikut.

·        Langkah 1

Jumlahkan koefisen-koefisien (𝑥), yaitu:

Koefisien 𝑥⁴ : 1

Koefisien 𝑥³ : 0

Koefisien 𝑥² : −15

Koefisien  : −10

Koefisien 𝑥⁰ atau konstanta : 24

Jumlah koefisien-koefisien f(𝑥) = 1 + 0 + (−15) + (−10) + 24 = 0

Karena jumlah koefisien-koefisien f(𝑥) = 0 maka 𝑥=1 merupakan akar dari persamaan polinomial 𝑓(𝑥) = 0

Untuk mencari akar yang lain, kita bias gunakan skema horner berikut.

Dari pembagian dengan skema horner diperoleh hasil bagi ℎ(𝑥) = 𝑥³ + 𝑥² − 14𝑥 − 24

·        Lakukan langkah 1 lagi pada hasil bagi ℎ(𝑥) = 𝑥³ + 𝑥² − 14𝑥 − 24

Koefisien-koefisien dari ℎ(𝑥) yaitu:

Koefisien 𝑥³ : 1

Koefisien 𝑥² : 1

Koefisien  : −14

Koefisien 𝑥⁰ atau konstanta : −24

Jumlahkan koefisien-koefisien pada ℎ(𝑥) =1+1−14−24 =−36

Karena jumlah koefisien ℎ(𝑥) = −36 ≠0 maka lakukan langkah 2

·        Langkah 2 untuk menentukan faktor dari ℎ(𝑥)

Jumlahkan koefisen berpangkat ganjil dan koefisen berpangkat genap

Koefisien pangkat ganjil yaitu :

Koefisien 𝑥³ : 1

Koefisien  : −14

Jumlah koefisien pangkat ganjil = 1 + (−14) = −13

Koefisien pangkat genap yaitu:

Koefisien 𝑥² : 1

Koefisien 𝑥⁰ atau konstanta : −24

Jumlah koefisien pangkat genap = 1 + (−24) = −23

Karena jumlah koefisien pangkat ganjil (−13) ≠ jumlah koefisien pangkat genap (−23) maka lanjutkan ke langkah 3

·        Langkah 3

Perhatikan nilai mutlak konstanta yaitu 𝑎⁰ = |𝑎⁰| = |24|

Faktor dari 24 adalah ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, dan ±24

Karena 𝑥=±1 bukan merupakan akar dari ℎ(𝑥), maka nilai 𝑥 =±1 tidak perlu dicoba lagi dengan skema horner.

∴ 𝑥=−2 merupakan akar dari ℎ(𝑥) = 0 dengan hasil bagi = 𝑥² – 𝑥 − 12

Untuk mencari akar yang lain, kita dapat memfaktorkan hasil bagi 𝑥² – 𝑥 − 12 sebagai berikut 𝑥² – 𝑥 – 12 = 0 (𝑥 − 4)(𝑥 + 3) = 0

𝑥 = 4 atau 𝑥 = −3

Akar-akar persamaan 𝑥⁴ − 15𝑥² − 10𝑥 + 24 = 0 adalah −3, −2, 1, dan 4.

 

Jadi, HP dari persamaan suku banyak itu adalah {−3, −2, 1, 4}.

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Menentukan akar-akar rasional persamaan suku banyak 𝒇(𝒙) = 𝟎. Please share...!