1. Pernyataan
Pernyataan atau kalimat
tertutup adalah suatu kalimat mempunyai nilai benar saja atau salah saja,
tidak sekaligus bernilai benar dan salah. Suatu pernyataan biasanya dinotasikan
dengan huruf kecil, seperti p, q, r, s, dan sebagainya.
2. Nilai Kebenaran dari suatu Pernyataan
Nilai benar atau nilai salah dari suatu
pernyataan disebut nilai kebenaran. Nilai kebenaran dapat ditentukan
dengan cara empiris dan cara nonempiris.
a.
Cara empiris
adalah cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berdasarkan fakta pada
saat itu (bergantung pada ruang dan waktu).
b.
Cara non
empiris adalah cara menetukan nilai kebenaran suatu
pernyataan berdasatkan bukti-bukti atau perhitungan-perhitungan dalam
matematika (kebenarannya bersifat mutlak).
Nilai kebenaran dari suatu pernyataan
dinotasikan dengan huruf Yunani, yaitu τ (dibaca tau)
yang berasal dari kata asing truth berarti kebenaran.
Suatu pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B (benar),
sedangkan suatu pernyataan yang salah memiliki nilai kebenaran S (salah).
Misalkan p : Hasil kali 3 dan 5 adalah 15
Pernyataan
p benar, sebab 3 × 5 = 15. Dengan demikian
pernyataan
p memiliki nilai kebenaran B (benar), ditulis τ (p) = B.
3. Ingkaran (Negasi) dari suatuPernyataan
Ingkaran (negasi) dari suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru
yang diperoleh dari pernyataan semula sedemikian sehingga jika pernyataan
semula bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah, dan jika pernyataan
semula bernilai salah, maka ingkarannya bernilai benar. Ingkaran dari
pernyataan p dinotasikan dengan ~ p.
Tabel kebenaran yang menunjukkan hubungan antara pernyataan p
daningkarannya ~ p adalah sebagai berikut.
p
|
~ p
|
B
S
|
S
B
|
Ingkaran pernyataan p (p) dapat diperoleh dengan cara menambahkan
kalimat “tidak benar bahwa” di depan pernyataan p, atau dengan menyisipkan
pernyataan “tidak” atau “bukan” di dalam pernyataan p.
4. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum
dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah) karena mengandung
variabel. Suatu kalimat terbuka dengan variabel x dilambangkan oleh p(x), q(x),
r(x), dan sebagainya.
Misalkan p(x) : 2x + 1 = 5, x ∈ R
• Apabila variabel x pada p(x) diganti dengan
bilangan 2, maka:
p(2) : 2 (2) + 1 = 5
(benar)
Kalimat
terbuka p(x) menjadi pernyataan yang bernilai benar.
• Apabila variabel x pada p(x) diganti dengan
bilangan selain 2, misal 3, maka:
p(3) : 2 (3) + 1 = 5
(salah)
Kalimat terbuka p(x) menjadi pernyataan yang bernilai salah.
Bilangan pengganti variabel disebut konstanta, dan konstanta
yang menjadikan suatu kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan yang bernilai
benar disebut penyelesaian kalimat terbuka.
B. Pernyataan Berkuantor
Kuantor artinya pengukur kuantitas atau jumlah. Sehingga pernyataan
berkuantor adalah pernyataan yang memuat ukuran kuantitar atau jumlah,
seperti kata semua, seluruh, setiap, tanda kecuali, ada, beberapa, dan
sebagainya.
Kuantor dibagi menjadi dua bagian, yaitu kuantor universal dan
kuantor eksistensial. Kuantor universal dinotasikan dengan ∀, contohnya semua, untuk setiap, untuk
tiap-tiap, seluruh, atau tanpa kecuali. Kuantor eksistensial dinotisikan
dengan ∃, contohnya
ada, beberapa, terdapat, atau sekurang-kuranhnya satu.
Ingkaran Pernyataan Berkuantor
1. Ingkaran dari pernyataan berkuantar semua
p adalah ada/beberapa/terdapat ~ p.
Misalkan p : semua orang asing berkulit putih
Maka ~ p : Tidak benar bahwa semua
orang asing berkulit putih
~ p : Ada
orang asing tidak berkulit putih
~ p : Beberapa
orang asing tidak berkulit putih
2. Ingkaran dari pernyataan berkuator adaatau terdapat p
adalah semua ~ p
Misalnya p
: ada laki-laki yang tidak berkumis
~ p : Tidak
benar bahwa ada laki-laki yang tidak berkumis
~ p : Semua
laki-laki berkumis
C. Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen, dan Ingkarannya
Pernyataan majemuk adalah suatu
pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal dengan menggunakan
kata penghubung logika, seperti dan, atau, sehingga, jika ... maka ..., ...
jika dan hanya jika ..., meskipun, tetapi.
Dalam matematikaka dikenal beberapa pernyataan majemuk, yaitu
konjungsi, disjung, implikasi, dan biimplikasi.
Kata Hubung
Logika
|
Lambang
|
Istilah
|
... dan
... atau ...
Jika ... maka
...
... jika dan hanya
jika
|
˄
˅
⇒
⇔
|
konjungsi
disjungsi
implikasi
biimplikasi
|
1. Konjungsi
Konjungsi adalah
pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan
kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan
oleh
“p ˄ q” (dibaca p dan q).
Nilai kebenaran p ˄ q ditentukan sebagai
berikut.
- p ˄ q benar, jika p benar dan q benar
- p ˄ q salah, jika salah satu p atau q salah, atau jika p salah dan salah
Tabel kebenaran konjungsi (p ˄ q)
p
|
q
|
p ˄ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
2. Disjungsi
Disjungsi adalah
pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan
kata hubung “atau”. Disjungsi dari pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan
oleh “p ˅ q” (dibaca p atau q).
Nilai kebenaran p ˅ q ditentukan sebagai
berikut.
- p ˅ q benar, jika salah satu p atau q benar, atau jika p dan keduanya benar.
- p ˅ q salah, jika p dan q keduanya salah
Tabel kebenaran disjungsi (p ˅ q)
p
|
q
|
p ˅ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
3. Implikasi
Implikasi adalah
pernyataan majemuk yang dibentik dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan
kata hubung “jika ... maka ...”. implikasi dari pernyataan p terhadap q
dinotasikan oleh “p ⇒ q” dapat
dibaca:
a.
Jika p maka q d.
p syarat cukup untuk q
b.
p berimplikasi q e.
q syarat perlu untuk p
c.
q hanya jika p
Nilai kebenaran p ⇒ q ditentukan sebagai berikut.
- p ⇒ q salah, jika p benar dan q salah
- p ⇒ q benar, dalam komposisi nilai kebenaran p dan q yang lainnya
Tabel kebenaran implikasi (p ⇒ q)
p
|
q
|
p ⇒ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
Pada implikasi p ⇒ q, p disebut hipotesa, q disebut konklusi
4. Biimplikasi
Biimplikasi adalah
pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan
kata hubung “ ... jika dan hanya jika ...”.
Biimplikasi dari pernyataan p dan pernyataan q
dinotasikan oleh “p ⇔ q”, dibaca “ p jika dan hanya jika
q”atau dibaca “jika p maka q dan jika q maka p”.
Nilai kebenaran biimplikasi p ⇔ q
ditentukan sebagai berikut.
- p ⇔ q benar, jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama ( τ (p) = τ (q))
- p ⇔ q salah, jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang tidak sama (τ (p) ≠ τ (q))
Tabel kebenaran biimplikasi (p ⇔ q)
p
|
q
|
p ⇔ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
5. Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah
pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah tautologi yang memuat
pernyataan implikasi disebut implikasi logis.
Kontradiksi adalah
pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan kebenaran
dari pernyataan-pernyataan komponennya.
6. Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika
kedua pernyataan mejemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sam. Ekuivalensi
dua pernyataan mejemuk dinotasikan dengan “ ≡ “.
7. Ingkaran Suatu Pernyataan Majemuk
a. Ingkaran Konjungsi
Ingkaran Konjungsi p ˄ q adalah ~ p ˅ ~ q. Atau ditulis:
~
(p ˄ q) ≡ ~ p ˅ ~ q
b. Ingkaran Disjungsi
Ingkaran disjungsi p ˅ q adalah ~ p ˅ ~ q. Atau ditulis:
~
(p ˅ q) ≡ ~ p ˄ ~ q
c. Ingkaran Implikasi
Ingkaran implikasi p ⇒ q adalah p ˄
~ q. Atau ditulis:
~
(p ⇒ q) ≡ p ˄ ~ q
d. Ingkaran Biiplikasi
Ingkaran biimplikasi p ⇔ q adalah (p
˄ ~ q) ˅ (q
˄ ~ p)
~
(p ⇔ q) ≡ (p ˄ ~ q) ˅
(q ˄ ~ p)
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari suatu implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu:
1.
q ⇒ p, yang disebut konvers dari p ⇒ q
2.
~ p ⇒ ~ q, yang disemut invers dari p ⇒ q
3.
~ q ⇒ ~ p, yang disemut kontraposisi dari p ⇒ q
Tabel kebenaran dari
implikasi-implikasi di atas adalah:
p
|
q
|
~ p
|
~ q
|
implikasi
(p ⇒ q)
|
konvers
(q ⇒ p)
|
invers
( ~ p ⇒ ~ q )
|
kontraposisi
( ~ q ⇒ ~ p )
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
S
B
B
|
B
B
S
B
|
B
B
S
B
|
B
S
B
B
|
E. Penarikan Kesimpulan
Dalam penarikan suatu kesimpulan/konklusi diperlukan
beberapa pernyataan (premis). Apabila premis-premisnya bernilai benar, maka
kesimpulan/konklusi yang diperoleh juga bernilai benar. Atau dengan kata lain,
proses penarikan kesimpulannya dikatakan sah.
1. Modus Ponens
p
⇒ q (B) ... Premis 1
p (B) ... Premis 2
----------------------
q (B)
... kesimpulan/konklusi
Modus Ponens merupakan penarikan
kesimpulan yang sah sebab pernyataan
[(p ⇒ q) ˄ p] ⇒ q merupakan tautologi.
p
⇒ q (B) ... Premis 1
~ q (B)
... Premis 2
----------------------
~ p (B)
... kesimpulan/konklusi
Modus Tollens merupakan penarikan
kesimpulan yang sah sebab pernyataan
[(p ⇒ q) ˄ ~ q] ⇒ ~ p merupakan tautologi.
3. Silogisme
p ⇒ q (B) ...
Premis 1
q
⇒ r (B) ... Premis 2
----------------------
p ⇒ r (B)
... kesimpulan/konklusi
Silogisme merupakan penarikan kesimpun
yang sah sebab pernyataan
[(p ⇒ q) ˄ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) merupakan tautologi.
Sumber
Labels:
Matematika
Thanks for reading Logika Matematika - 1. Please share...!
