2.1 Aturan Dasar Menghitung
Sumber
Ada dua cara menghitung anggota himpunan.
a.
Aturan menambah
Jika A dan B dua himpunan dengan anggotanya r1
dan r2. Jika A dan B saling lepas (tak
beririsan), maka banyaknya anggota A∪ B adalah r1 + r2.
b.
Aturan
perkalian
Jika A dan B dua himpunan dengan anggotanya r1
dan r2. Jika A dan B saling lepas (tak
beririsan), maka banyaknya anggota A × B adalah r1r2.
2.2 Permutasi
Definisi 2.1 Permutasi
Susunan
n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi dari n
unsur tersebut.
Definisi 2.2 Faktorial
Misalkan
n bilangan asli. Tulisan n! (dibaca n faktorial) adalah
1 · 2 · ... · n
dan
0! = 1 (definisikan).
Sifat 2.3 Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
Misalkan
diketahui n unsur berbeda. Banyaknya permutasi dari r unsur (r
≤ n)
yangdiambil dari n unsur adalah:
2.2.1 Permutasi Unsur yang Sama
Sifat 2.4 Permutasi n unsur dari n unsur yang memuat
unsur sama.
Misalkan
kita mempunyai n unsur dan memuat satu jenis unsur yang muncul q
kali (q ≤ n).
Banyaknya permutasi adalah:
Sifat 2.5 Permutasi dari unsur yang sama
Misalkan
kita mempunyai n unsur dan ada k unsur yang masing-masing muncul q1,
... , qk kali.
Permutasi n unsur tersebut adalah:
2.2.2 Permutasi Siklis (materi tambahan)
Sifat 2.6 Permutasi siklis
Banyaknya
permutasi (posisi) siklis dari n unsur adalah:
2.3 Kombinasi
Sifat 2.7 Kombinasi r unsur dari n unsur.
Misalkan
diketahui n unsur berbeda. Kombinasi r unsur (r ≤ n) dari n unsur adalah:
Seringkali nCr
ditulis sebagai C (n, r) atau 
2.3.1 Penjabaran Binomial
Definisi 2.8 Binomial Newton.
Penjabaran
(a + b)n
seperti
di atas disebut bnomial Newton.
2.3.2 Teorema Binomial
Misalkan n bilangan asli, maka:
2.4 Ruang Sampel dan Kejadian
Definisi 2.9 Ruang Sampel
Himpunan
beranggotakan semua kemungkinan dari suatu kejadian disebut ruang sampel.
Definisi 2.10 Kejadian
Kejadian
adalah subhimpunan dari ruang sampel. Sedangkan kejadian sederhana
adalah kejadian yang mempunyai satu anggota.
2.5 Peluang dari Kejadian
2.5.2 Frekuensi Relatif
Definisi 2.11 Frekuensi relatif
Misalkan
A merupakan kejadian di suatu percobaan. Frekuensi relatif dari kejadian
A adalah:
Definisi 2.12 Aksioma Peluang
Setiap
kejadian di ruang sampel di kaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan
ini disebut peluang.
a.
Kejadian yang
tak munkin terjadi mempunyai peluang.
b.
Kejadian yang
pasti terjadi mempunyai peluang satu. (atau peluang dari ruang sampel adalah
1).
c.
Peluang dari
kejadian A bernilai antara 0 dan 1.
d.
Jika A
dan B dua kejadian sehingga A ∩ B = ø, maka:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Sifat 2.13 Nilai peluang
Dalam
ruang sampel yang setiap kejadian sederhana mempunyai peluangyang sama, maka
peluang dari kejadian A adalah:
Definisi 2.14 Frekuensi harapan berdasarkan peluang.
Misalkan
kita melalukan n kali percobaan dan A kejadian dengan peluang p
(0 ≤ p ≤ 1).
Frekuensi harapan dari kejadian A adalah nilai pn.
2.6 Kejadian Majemuk
Sifat 2.15 Peluang dari gabungan kejadian.
Misalkan
A dan B dua kejadian dengan A ∩ B = ø (kosong), maka:
P
(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Kejadian A ∪ B dibaca sebagai kejadian A atau B.
2.6.1 Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Seperti pada himpunan, kita juga
mengenal komplemen dari kejadian. Misalkan A suatu kejadian, komplemen
dari A ditulis A′ atau
adalah kejadian
yang muncul jika A tidak muncul. Dengan demikian:
adalah kejadian
yang muncul jika A tidak muncul. Dengan demikian:
Seluruh ruang sampek. Karena peluang dari ruang sampel P (S)
= 1 dan A dan tidak
beririsan, maka:
2.6.2 Kejadian yang Saling Bebas
Dua kejadian yang saling tidak mempengaruhi disebut kejadian bebas.
Definisi 2.16 Dua kejadian saling bebas.
Dua
kejadian A dan B disebut saling bebas jika
P (A
∩ B) = P (A) · P (B).
2.7 Sebaran Peluang
Dengan demikian peluang x kali menghasilkan sukses dalam n
kai percobaan adalah:
Labels:
Matematika
Thanks for reading Kombinatorik dan Peluang. Please share...!
