Statistika - 2

Jumat, 22 November 2019

1.     Populasi adalah kumpulan dari semua objek atau benda yang akan kita teliti. 
      Sampel adalah sub kumpulan objek atau benda yang merupakan bagian dari 
      populasi.

2.     Misalkan diketahui data terurut dari nilai terkecil dan terbesar dengan n adalah ukuran data. Misalkan x_min dan x_maks  merupakan data terkecil dan terbesar.

a. Kuartil pertama Q₁ adalah data ke (n + 1) / 4

b. Median atau kuartil tengah Q₂ adalah data ke (n + 1) / 2

c. Kuartil ke tiga atau kuartil atas Q₃ adalah data ke ¾ (n + 1)

Jika diperoleh data dengan nomor pecahan, gunakan interpolasi.

3.     Lima informasi x_min, Q₁, Q₂, Q₃, x_maks disebut statistik lima serangkai.

4.     Jangkaun data adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dari data.

J = x_min – x_maks

Jangkaun data disebut juga rentang data karena merupakan selisih dari data terbesar dan terkecil.

5.     Jangkaun antar kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.

H = Q₃ – Q₁

Jangkaun antar kuartil disebut juga hamparan, notasi H.

6.     Satu langkah didefinisikan sebagai satu-setengah panjang hamparan.

L = 1,5 × H

7.     Pagar dalam (PD) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah dibawah nilai kuartil bawah, Q₁. Pagar luar (PL) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di atas nilai kuartil atas, Q₃.

PD = Q₁ – L

PL = Q₃ + L

8.     Penyajian data dalam bentuk diagram:

a. Diagram Kotak-Garis

b. Diagram Batang-Daun

c. Diagram Batang

d. Diagram Garis

e. Diagram Lingkaran

9.     Daftar distribusi frekuensi adalah suatu cara mengorganisasikan data dengan membagi data menjadi beberapa kelompok atau kelas. Kemudian setiap kelompok atau kelas dari data dicatat mengenai banyaknya data atau frekuensi yang masuk dalam kelompok tersebut.

Menentukan jumlah kelompok atau kelas pada daftar distribusi frekuensi data berkelompok ada 2 cara:

 1. Aturan Sturger

           Misalkan n = banyak data, banyak kelas k ditentukan berdasarkan aturan

                        k = 1 + 3,322 (log n)

      2. Aturan semua panjang interval atau kelas harus sama.

          Misalan rentang data sama dengan R, yaitu:

                      R = nilai maksimum – nilai minimum.

          Misalkan kita menginginkan banyak kelas interval untuk data tersebut adalah k 

          maka panjang setiap kelas interval adalah R/k.

10.  Beberapa istilah pada distribusi frekuen data berkelompok:

      Batas kelas bawah       : nilai terkecil pada kelas interval

      Batas kelas atas           : nilai terbesar pada kelas interval

11.  Limit kelas bawah diperoleh dengan mengurangi setengah satuan pada batas kelas bawah, dan Limit kelas atas diperoleh dengan menambahkan setengah satuan pada batas kelas atas.

12.  Jika tiap kelas interval mempunyai panjang sama maka:

panjang kelas = limit kelas atas – limit kelas bawah

13.  Titik tengah kelas merupakan nilai rataan batas kelas bawah dan batas kelas atas dengan kata lain titik tengah kelas adalah:

½ (batas kelas bawah + batas kelas atas).

Titik tengah kelas dapat dianggap nilai yang mewakili kelas itu.

14.  Distribusi frekuensi kumulatif pada suatu kelas interval diperoleh dengan menjumlahkan frekuensi dari kelas interval pertama sampai dengan kelas interval tersebut. Distribusi frekuensi kumulatif sangat berguna untuk mengetahui berapa banyak data pengamatan yang berada di bawah suatu nilai.

15.  Distribusi frekuensi relatif menyatakan proporsi data yang berada pada suatu kelas interval. Distribusi frekuensi relatif pada suatu kelas interval diperoleh dengan cara membagi frekuensi dengan total data.

16.  Histogram adalah salah satu cara menyatakan daftar distribusi atau distribusi frekuensi dengan  relatif.

17.  Grafik garis dari histogram disebut poligon.

18.  Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif

19.  Ukuran tendensi sentral yang paling banyak digunakan adalah rataan. Ada berbagai macam rataan antara lain rataan hitung, rataan geometri, rataan harmonis dan rataan kuadratis.

20.  Misalkan suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal yaitu x_1, x₂, x₃, ... ,  x_n adalah:

21.  Misalkan data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi. Rataan aritmatika data:

k banyak kelas, f_i frekuensi pada setiap kelas,menyatakan jumlah ukuran data.

22.  Misalkan data bernilai positif terdiri atas x_1, x₂, x₃, ... ,  x_n. Rataan geometris, dinyatakan oleh g adalah akar ke-n dari perkalian nilai-nilai data:

23.  Misalkan data bernilai positif terdiri atas x_1, x₂, x₃, ... ,  x_n. Rataan hammonis dinyatakan oleh h adalah nilai yang memenuhi:

24.  Misalkan data terdiri atas x_1, x₂, x₃, ... ,  x_n. Rataan kuadras dinyatakan oleh k dalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat data yang diketahui atau:

25.  Modus adalah nilai yang paling banyak muncul.

26.  Modus data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi data berkelompok adalah kelas interval dengan frekuensi paling besar dan nilainya.

dengan

      L          = batas bawah limit kelas modus

      ∆₁        = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

      ∆₂        = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

      c          = panjang kelas modus

27.  Median data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi data berkelompok adalah kelas interval dengan frekuensi kumulatif lebih dari ½, tetapi kelas sebelumnya mempunyai distribusi kumulatif kurang dari ½ dan nilai median adalah:

dengan

      L          = batas bawah limit kelas median

      n          = ukuran data

      f_k          = frekuensi kumulatif dari kelas sebelum kelas median

      f           = frekuensi kelas median

      c          = panjang kelas median

28.  Kuartil, Desil, dan Persentil

1. Untuk data tunggal terurut dengan banyak data n ≥ 4, kita mengenal tiga 

    kuartil yaitu kuartil pertama (bawah), kuartil kedua (tengah) dan 

    kuartil ketiga (atas). Kuartil pertama, kedua dan ketiga maing-masing 

    adalah data ke:

¼ (n + 1), 2 ( ¼ (n + 1)), 3 (¼ (n + 1))

     2. Untuk data tunggal terurut dengan banyak data n ≥ 10, kita mengenal 9 desil 

         yaitu desil pertama, kedua, ..., ke sembilan. Desil pertama, kedua, ..., dan ke 

         sembilan masing-masing adalah data ke:

1/10 (n + 1), 2 (1/10 (n + 1)), ..., 9 (1/10 (n + 1))

    3. Untuk data tunggal terurut dengan banyak data n ≥ 100, kita mengenal 99 

        persentil yaitu persentil pertama, kedua, ... ke 99. Persentil pertama, kedua, ..., 

        ke 99 masing-masing adalah data ke:

1/100 (n + 1), 2 (1/100 (n + 1)) , ... , 99 (1/100 (n + 1))

  Dalam hal nomor data yang diperoleh tidak bulat, kita gunakan interpolasi.

29.  Ukuran penyebaran data: Simpangan rata-rata, Variansi, Koefisien keragaman, Angka baku.

30.  Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata menyatakan ukuran berapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan.

31.  Diketahui nilai-nilai data tunggal: x_1, x₂, ... ,  x_n. Simpangan rata-rata,

Dengan = rataan aritmatika, n ukuran data.

32.  Simpangan rata-rata dari data berkelompok yang disajikan dalam daftar distribusi frekuensi adalah:

Dengan n menyatakan banyak data, k banyaknya kelas, f_i frekuensi kelas ke i, dan x_i titik tengah kelas ke i.

33.  Ragam atau Variansi Diketahui kumpulan data  x_1, x₂, x₃, ... ,  x_n. Ragam atau variansi adalah:

Dengan n menyatakan banyak data,menyatakan rataan aritmatika. Sedangkan simpangan baku adalah:

34.  Diketahui data dalam daftar distribusi frekuensi. Variansi,

Dengan n banyak data, k banyak kelas, x_i titik tengah kelas dan f_i frekuensi kelas. Sedangkan simpangan baku S = √S ².

35.  Jika S simpangan baku dan rataan hitung dari sekumpulan data maka koefisien keragaman (koefisien variasi) V, adalah:

Koefisien keragaman biasanya dinyatakan dalam prosen:

                                                       

36.  Diketahui suatu nilai datum x dari kumpulan data mempunyai rataan aritmatika  dan simpangan baku S. Angka baku dari nilai x diberikan oleh:

37.  Misalkan diketahui sekumpulan data tunggal x_1, x₂, ... ,  x_n.  Momen ke-k terhadap titik nol didefinisikan sebagai:

Dengan n menyatakan jumlah data.

Momen sentral ke-k atau terhadap nilai rataanadalah:

                              

Dengan n menyatakan jumlah data danmenyatakan rataan aritmatika.

38.  Kemiringan dari suatu distribusi frekuensi merupakan derajat ketidak-simetrian distribusi. Jika distribusi frekuensi dibuat kurva poligon maka ada 3 kemungkinan kemiringan:

1. Kurva poligon mempunyai ekor ke kiri lebih panjang dari pada ekor kanan disebut mempunyai kemiringan ke kiri atau kemiringan negatif.
2. Kurva poligon mempunyai ekor kiri sama dengan ekor kanan terhadap frekuensi maksimum maka distribusi disebut simetri atau kemiringan nol.
3. Kurva poligon mempunyai ekor ke kanan lebih panjang dari pada ekor ke kiri terhadap frekuensi maka distribusi disebut mempunyai kemiringan kanan atau kemiringan positif.

Ukuran kemiringan suatu distribusi ada 5 jenis:

1. Koefisien kemiringan pertama Pearson didefinisikan oleh:

2. Koefisien kemiringan kedua Pearson didefinisikan oleh:

3. Koefisien kemiringan kuartil didefinisikan oleh:

4. Koefisien kemiringan 10 – 90 persentil didefinisikan oleh:

5. Koefisien kemiringan momen didefinisikan oleh:

      Dengan

         

   

      x_mod  = modus                                             

      x_med  = median                                            

      S   = simpangan baku                              

      m₃  = momen-sentral ketiga                      

      Q₁  = kuartil bawah                                  

      Q₂  = kuartil tengah

      Q₃  = kuartil atas

      P₁₀  = persentil kesepuluh

P₅₀  = persentil kelima puluh

P₉₀  = persentil kesembilan puluh

Berdasarkan kurtosis, distribusi dibagi menjadi 3 macam yaitu:

1. Distribusi frekuensi yang mempunyai puncak tidak terlalu tinggi dan juga tidak terlalu landai disebut mesokurtis.
2. Distribusi frekuensi dengan puncak tidak terlalu tinggi disebut platikurtis.
3. Distribusi frekuensi dengan puncak lancip disebut leptokurtis.

Sumber