Notasi Sigma, Barisan Dan Deret, Dan Induksi Matematika - 1

Selasa, 12 November 2019

A. Notasi Sigma

Notasi Sigma adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Notasi sigma ditulis dengan lambang “∑”. Labang tersebut merupakan huru besar Yunani yang yang berasal dari kata asing “Sum” yang artinya jumlah.

Secara umum, notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.

                         

                         

      dibaca penjumlahan suku U_i untuk i = 1 sampai dengan i = n

                        i   adalah indeks penjumlahan

                        1  adalah batas bawah penjumlahan

                        n  adalah batas atas penjumlahan

                        {1, 2, 3, ... , n} adalah wilatah penjumlahan

Sifat-sifat Notasi Sigma

B. Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Suatu barisan U₁, U₂, U₃, ... , U_{n – 1} , disebut barisan aritmetika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan “b”.

            Jadi, b = U₂ – U₁ = U₃ – U₁ = U_n – U_{n – 1}

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmetika adalah:

                        a, a + b, a + 2b ... a + (n – 1) b

Apabila semua suku-suku barisan aritmetika dijumahkan, maka akan terbentuk deret aritika. Sehingga bentuk umum deret aritmetika adalah:

                        a + (a + b) + (a + 2b) + ... + {a + (n – 1)b}

Apabila a menyatakan suku pertama, n mwnyatakan banyak suku, dan b menyatakan beda, maka:

1. Suku ke – n barisan aritmetika (U_n) dirumuskan sebagai:

                        U_n = a + (n – 1) b

2. Jumlah n suku pertama derat aritmetikan (S_n) dirumuskan sebagai:

                        S_n = n/2 (a + U_n)

            Hubungan U_n dan S_n , U_n = S_n – S_{n – 1}

3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U_t) dirumuskan sebagai:

                        U_t = ½ (a + U_n)

Sisipan _________________________________________

Misalkan U₁, U₂, U₃, ... , U_n adalah barisan aritmetika dengan suku pertama U₁ = A, beda = b banyaknya suku = n. Apabila di antara dua suku disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membuat bilangan aritmetika yang baru, maka:

            Barisan semula : a, a + b, a + 2b, ...

            Barisan baru : a, (a + b), (a + 2b), ... , (a + kb), a + (k + 1) b, ...

Di antara barisan semula dan barisan baru diperoleh hubungan:

1. Beda baru (b′ )

                        b′ = b/(k + 1)

2. Banyaknya suku baru (n′ )

                        n′ = n + (n + 1) k

3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (S_n′ )

           

                        S_n = n/2 (a + U_n)

C. Barisan dan Derat Geometri (Derat Ukur)

Suatu barisan U₁, U₂, U₃, ... , U_n disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap, perbandingan antara dua suku yang berurutan itu disebut pembangding atau rasio, biasanya dilambangkan dengan “r”.

            Jadi,  

Jika suku pertama dinyatskan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah:

                        a, ar, ar², ... , ar^{n – 1}

Apabila semua suku-suku barisan geometri dijumlahkan, maka akan terbentuk deret geometi. Sehingga bentuk umum deret geometri adalah:

                        a + ar + ar² + ... + ar^{n – 1}

Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyak suku, dan r menyatakan rasio, maka:

1. Suku ke – n barisan geometri (U_n) dirumuskan sebagai:

                        Un = ar^{n – 1}

2. Jumlah n suku pettama deret geometri (S_n) dirumuskan:

                         

       Hubungan U_n dan S_n ,      U_n = S_n – S_{n – 1}

3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (U_t) dirumuskan sebagai:

                               

                         

Sisipan ______________________________________

Misalkan diketahui barisan geometri U₁, U₂, U₃, ... , U_n. Apabila di antara dua suku yang berurutan disisipkan k buah suku baru sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka:

1. Rasio baru (r′ )

                         

2. Bantaknya suku baru (n′ )

                        n′ = n + (n – 1) k

3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn′ )

                  

                        

D. Deret Geometri Tak Berhingga

Pada deret geometri, untuk n ⟶ ~, maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga.

Bentuk umum deret geometri tak berhingga adalah sebagai berikut.

                        a + ar + ar² + ar³ + ...

Deret geometr tak berhingga tersebut akan konvergen (mempunyai jumlah) jika

–1 < r < 1,  dan jumlahnya adalah S = a / (1 – r)            Jika r tidak terletak pada

–1 < r < 1,  maka deret tersebut dikatakan divergen (tidak mempunyai jumlah).

E. Induksi Matematika

Induksi matematika adalah metode untuk membuktikan suatu penyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli.

Langkah-langkah untuk membuktikan suatu pernyataan dengan menggunakan induksi matematika adalah sebagai berikut.

1.      Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1

2.      Tunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan itu juga harus benar untukn = k.

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Notasi Sigma, Barisan Dan Deret, Dan Induksi Matematika - 1. Please share...!