Matriks - 1 - Alfi Blog

A. Notasi Matriks

Matriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam suatu jajaran berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom dan kolom dan diletskkan di antara dua tanda kurung (kurung biasa atau kurung siku). Sebuah matriks dapat diberi nama, dan biasanya tersebut dinyatakan dengan menggunakan huruf besar atau huruf kapital.

Bentuk umum sebuah matriks adalah:

a_mn adalah elemen atau unsur matriks yang terletak pada baris ke-m dan kolom ke-n.

B. Istilah Dalam Matriks

1. Ordo Matriks

Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu. Jika matriks A terdiri atas m baris dan kolom, maka matrika A dikatakan berodo m × n dan ditulis

A_{m × n}.

Berdasarkan banyaknya baris dan banyaknya kolom, matriks dapat dibedakan menjadi:

a. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris

Contoh

A = [6 − 1 2] B = [− 2 − 5 7]

b. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom

Contoh

c. Matriks persegi adalah matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom

Contoh

2. Transpos Matriks

Transpos matriks A adalah sebuah matriks baru yang disusun dengan cara menuliskan baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru, baris kedua matriks A menjadi kolom kedua matriks baru, dan seterusnya. Transpos matriks A dapat dituliskan dengan menggunakan salah satu lambang berikut ini.

(dibaca : A aksen atau a transpos atau putaran A)

Jika matriks A berordo m × n, maka transpos matriks A (A′ atau A^t) berordo n × m.

Sebagai contoh, bila A = {1 2 3}, maka

3. Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika:

a. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B

b. Semua elemen yang seletak (bersesuaian) pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama.

C. Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks

1. Penjumlahan Dua Matriks

Jika matriks A dan matriks B berordo sama, maka jumlah matriks A dengan matriks A (A + B) adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen matriks B yang seletak.

Sifat-sifat penjumlahan matriks

a. Dua buah matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan, bila kedua matriks itu mempunyai ordo yang sama

b. Bersifat komulatif : A + B = B + A

c. Bersifat asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)

d. Ada unsur identitas, yaitu matriks

yang bersifat: A + O = O + A = A

e. Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif, yaitu – A yang bersifat: A + ( – A) = O

2. Pengurangan Dua Matriks

Jika matriks A dan matriks B berordo sama, maka pengurangan matriks A dengan matriks B (A – B) adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara mengurangankan setiap elemen matriks A dengan elemen matiks A yang seletak.

Pengurangan matriks A dengan matriks B dapat pula didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan lawan dari matriks B, ditulis:

A – B = A + ( – B)

D. Perkalian Suatu Bilangan Real Terhadap Matriks

Apabila A adalah sebuah matriks berordo m × n dan k adalah suatu bilangan real, maka kA adalah matriks baru berordo m × n yang diperoleh dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen matriks A.

Sifat-sifat perkalian suatu bilangan real terhadap matriks

Apabila k dan l adalah bilangan-bilangan real, A dan B adalah matriks berordo m × n, maka:

1. (k + l) A = kA + lA

2. k (A + B) = kA + kB

3. k (lA) = (kl) A

4. 1A = A

5. ( – 1) A = – A

E. Perkalian Dua Matriks

Dua buah matriks A dan B sepadan untuk dikalikan, dengan kata lain matriks A dapat dikatakan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

1. Perkalian Matriks Berordo (1 × n) dengan Matriks Berordo (n × 1)

Apabila A adalah matriks baris berordo (1 × n) dan B adalah matriks kolo berordo (n × 1), maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B, skalar.

A_{1
× n} . B_{n × 1} = C_1×1

2. Perkalian Matriks Berordo (m × n) dengan Matrika Berordo (n × 1)

Apabila A adalah matrika berordo (m × n) dan adalah matriks berordo (n ×1), maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B, misal C, adalah matriks baru berordo (m × 1).

A_1×
n. B_{n × 1}= C_1×1

3. Perkalian Matriks Berordo (m × n) dengan Matriks Berordo (n × p)

Apabila A adalah matriks berordo (m × p) dan B matriks berordo (n × p), maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B, misal C,adalah matriks baru berordo (m × p).

A_{m
× n} . B_{n × p} = C_{n × p}

Jika, A_2×2 . B_2×2 = C_2×2

Jika, A_{2 ×
2} . B_{2 × 3} = C_{2 × 3}

Berdasarkan uraian di atas, dapat dikatakan bahwa hasil perkalian matriks A dengan matriks B yang sepadan diperoleh dengan cara mengalikan masing-masing baris matriks A dengan masing-masing kolom matriks B, kemudian menjumlahkannya.

4. Sifat-sifat Perkalian dua Matriks atau lebih yang sepadan

a. Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif

A. B ≠ B . A (kecuali untuk matriks-matriks khusus)

b. Perkalian matrika bersifat asosiatif

(A. B) . C = A . (B . C)

c. Perkalian matrika bersifat distributif

Distributif kiri: A . (B . C) = A . B + A . C

Distributif kanan: (B + C) . A = B . A + C . A

d. Dalam perkalian matrika yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matrika identitas, yaitu matriks satuan I =

, yaitu bersifat:

I . A = A . I = A

e. 1) Jika A . B = O, belum tentu A = O atau B = O

2) A . B = A . C, belum tentu B = C

f. Jika p dan q adalah bilangan-bilangan real, serta A dan B adalah matrika-matriks, maka berlaku hubungan: (pA) (qB) = (pq) (A . B)

g. Jika A^t dan B^t berturut-turut adalah trasnpos dari matriks A dan matriks B maka:

(A . B)^t = B^t . A^t

5. Perpangkatan dalam Matrika Persegi

Misalkan A adalah suatu matriks persegi, maka:

A² = A . A

A³ = A. A²

A⁴ = A . A³

Aⁿ = A . A^{n – 1}

F. Invers Matriks

1. Dua Matriks saling Invers

Apabila A dan B masing-masing adalah matriks persegi berordo sama dan berlaku hubungan:

A . B = B . A = I

Maka A adalah invers B atau B adalah invers A atau A dan B merupakan dua matriks yang saling invers.

Matriks A adalah invers matriks B ditulis A = B^{– 1}dan matriks B adalah invers matriks A ditulis B = A^{– 1}.

2. Determin Matriks Persegi berordo 2

Determinan dari suatu matriks A dilambangkan sebagai det A atau ∣A∣. Misalkan A adalah suatu matriks persegi berordo 2 dalam bentuk:

Determinan dari matriks A adalah det

3. Invers Matriks Persegi Berordo 2

a. Invers matriks persegi berordo 2 yang determinannya sama dengan satu

Invers dari suatu matriks persegi berordo 2 dengan nilai determinan 1 dapat ditentukan dengan cara:

Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukan
Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diganti dengan lawannya. Sebagai contoh, diketahui matriks

Nilai determinan matris A adalah:

Jadi, invers matriks A adalah:

b. Invers matriks persegi berordo 2 yang determinannya tidak sama dengan satu

Jika matriks

dengan det A = (ad – bc), maka invers dari matriks A ditentukan oleh:

Dengan syarat: det A = (ad – bc) ≠ 0

Jika matriks A dengan det A = 0, maka A disebut matriks singular. Setiap matriks singular tidak mempunyai invers.

Jika matriks A dengan det A ≠ 0, maka A disebut matrika tak-singular atau non singular. Setiap matriks tak-singular selalu mempunyai invers.

Sifat Invers dari Perkalian Dua Matriks Persegi Berordo

Jika A dan B adalah matriks persegi berordo 2 yang tak singur, A^{– 1}dan B^{– 1}berturut-turut adalah invers dari matriks A dan matriks B, maka berlaku:

(AB)^{– 1}= B^{– 1}A^{– 1}

(BA)^{– 1} = A^{– 1}B^{– 1}

4. Penyelesaian Persamaan Matriks

Apabila A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2, dan A adalah matriks tak-singur yang mempunyai invers, yakni A^{– 1}.

a. Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditemtukan oleh:

X = A^{– 1}B

b. Peryelesaian persamaan matriks XA = BA ditentukan oleh:

X = A^{– 1} B

Sistem persamaan linear dua peubah:

dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks, yakni:

Sehingga hinpunan penyelesaiannya dapat ditentukan oleh:

5. Invers Matriks Persegi Berordo 3

Misalkan matriks A adalah matriks persegi berordo 3 yang berbentuk:

Berdasarkan kaidah Sarrus, nilai determinan matriks A ditentukan oleh:

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ − a₃₁ a₂₂ a₁₃ – a₃₂ a₂₃ a₁₁ – a₃₃ a₂₁ a₁₂

Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (peubah)

Sumber Alfi Blog November 13, 2019 Admin Bandung Indonesia

Matriks - 1

Rabu, 13 November 2019

A. Notasi Matriks

Bentuk umum sebuah matriks adalah:

a_mn adalah elemen atau unsur matriks yang terletak pada baris ke-m dan kolom ke-n.

B. Istilah Dalam Matriks

1. Ordo Matriks

A_{m × n}.

Berdasarkan banyaknya baris dan banyaknya kolom, matriks dapat dibedakan menjadi:

a. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris

Contoh

A = [6 − 1 2] B = [− 2 − 5 7]

b. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom

Contoh

c. Matriks persegi adalah matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom

Contoh

2. Transpos Matriks

(dibaca : A aksen atau a transpos atau putaran A)

Jika matriks A berordo m × n, maka transpos matriks A (A′ atau A^t) berordo n × m.

Sebagai contoh, bila A = {1 2 3}, maka

3. Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika:

a. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B

b. Semua elemen yang seletak (bersesuaian) pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama.

C. Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks

1. Penjumlahan Dua Matriks

Sifat-sifat penjumlahan matriks

a. Dua buah matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan, bila kedua matriks itu mempunyai ordo yang sama

b. Bersifat komulatif : A + B = B + A

c. Bersifat asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)

d. Ada unsur identitas, yaitu matriks

yang bersifat: A + O = O + A = A

e. Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif, yaitu – A yang bersifat: A + ( – A) = O

2. Pengurangan Dua Matriks

Pengurangan matriks A dengan matriks B dapat pula didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan lawan dari matriks B, ditulis:

A – B = A + ( – B)

D. Perkalian Suatu Bilangan Real Terhadap Matriks

Apabila A adalah sebuah matriks berordo m × n dan k adalah suatu bilangan real, maka kA adalah matriks baru berordo m × n yang diperoleh dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen matriks A.

Sifat-sifat perkalian suatu bilangan real terhadap matriks

Apabila k dan l adalah bilangan-bilangan real, A dan B adalah matriks berordo m × n, maka:

1. (k + l) A = kA + lA

2. k (A + B) = kA + kB

3. k (lA) = (kl) A

4. 1A = A

5. ( – 1) A = – A

E. Perkalian Dua Matriks

Dua buah matriks A dan B sepadan untuk dikalikan, dengan kata lain matriks A dapat dikatakan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

1. Perkalian Matriks Berordo (1 × n) dengan Matriks Berordo (n × 1)

Apabila A adalah matriks baris berordo (1 × n) dan B adalah matriks kolo berordo (n × 1), maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B, skalar.

A_{1
× n} . B_{n × 1} = C_1×1

2. Perkalian Matriks Berordo (m × n) dengan Matrika Berordo (n × 1)

Apabila A adalah matrika berordo (m × n) dan adalah matriks berordo (n ×1), maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B, misal C, adalah matriks baru berordo (m × 1).

A_1×
n. B_{n × 1}= C_1×1

3. Perkalian Matriks Berordo (m × n) dengan Matriks Berordo (n × p)

Apabila A adalah matriks berordo (m × p) dan B matriks berordo (n × p), maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B, misal C,adalah matriks baru berordo (m × p).

A_{m
× n} . B_{n × p} = C_{n × p}

Jika, A_2×2 . B_2×2 = C_2×2

Jika, A_{2 ×
2} . B_{2 × 3} = C_{2 × 3}

4. Sifat-sifat Perkalian dua Matriks atau lebih yang sepadan

a. Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif

A. B ≠ B . A (kecuali untuk matriks-matriks khusus)

b. Perkalian matrika bersifat asosiatif

(A. B) . C = A . (B . C)

c. Perkalian matrika bersifat distributif

Distributif kiri: A . (B . C) = A . B + A . C

Distributif kanan: (B + C) . A = B . A + C . A

d. Dalam perkalian matrika yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matrika identitas, yaitu matriks satuan I =

, yaitu bersifat:

I . A = A . I = A

e. 1) Jika A . B = O, belum tentu A = O atau B = O

2) A . B = A . C, belum tentu B = C

f. Jika p dan q adalah bilangan-bilangan real, serta A dan B adalah matrika-matriks, maka berlaku hubungan: (pA) (qB) = (pq) (A . B)

g. Jika A^t dan B^t berturut-turut adalah trasnpos dari matriks A dan matriks B maka:

(A . B)^t = B^t . A^t

5. Perpangkatan dalam Matrika Persegi

Misalkan A adalah suatu matriks persegi, maka:

A² = A . A

A³ = A. A²

A⁴ = A . A³

Aⁿ = A . A^{n – 1}

F. Invers Matriks

1. Dua Matriks saling Invers

Apabila A dan B masing-masing adalah matriks persegi berordo sama dan berlaku hubungan:

A . B = B . A = I

Maka A adalah invers B atau B adalah invers A atau A dan B merupakan dua matriks yang saling invers.

Matriks A adalah invers matriks B ditulis A = B^{– 1}dan matriks B adalah invers matriks A ditulis B = A^{– 1}.

2. Determin Matriks Persegi berordo 2

Determinan dari suatu matriks A dilambangkan sebagai det A atau ∣A∣. Misalkan A adalah suatu matriks persegi berordo 2 dalam bentuk:

Determinan dari matriks A adalah det

3. Invers Matriks Persegi Berordo 2

a. Invers matriks persegi berordo 2 yang determinannya sama dengan satu

Invers dari suatu matriks persegi berordo 2 dengan nilai determinan 1 dapat ditentukan dengan cara:

Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukan
Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diganti dengan lawannya. Sebagai contoh, diketahui matriks

Nilai determinan matris A adalah:

Jadi, invers matriks A adalah:

b. Invers matriks persegi berordo 2 yang determinannya tidak sama dengan satu

Jika matriks

dengan det A = (ad – bc), maka invers dari matriks A ditentukan oleh:

Dengan syarat: det A = (ad – bc) ≠ 0

Jika matriks A dengan det A = 0, maka A disebut matriks singular. Setiap matriks singular tidak mempunyai invers.

Jika matriks A dengan det A ≠ 0, maka A disebut matrika tak-singular atau non singular. Setiap matriks tak-singular selalu mempunyai invers.

Sifat Invers dari Perkalian Dua Matriks Persegi Berordo

Jika A dan B adalah matriks persegi berordo 2 yang tak singur, A^{– 1}dan B^{– 1}berturut-turut adalah invers dari matriks A dan matriks B, maka berlaku:

(AB)^{– 1}= B^{– 1}A^{– 1}

(BA)^{– 1} = A^{– 1}B^{– 1}

4. Penyelesaian Persamaan Matriks

Apabila A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2, dan A adalah matriks tak-singur yang mempunyai invers, yakni A^{– 1}.

a. Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditemtukan oleh:

X = A^{– 1}B

b. Peryelesaian persamaan matriks XA = BA ditentukan oleh:

X = A^{– 1} B

Sistem persamaan linear dua peubah:

dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks, yakni:

Sehingga hinpunan penyelesaiannya dapat ditentukan oleh:

5. Invers Matriks Persegi Berordo 3

Misalkan matriks A adalah matriks persegi berordo 3 yang berbentuk:

Berdasarkan kaidah Sarrus, nilai determinan matriks A ditentukan oleh:

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ − a₃₁ a₂₂ a₁₃ – a₃₂ a₂₃ a₁₁ – a₃₃ a₂₁ a₁₂

Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (peubah)

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Matriks - 1. Please share...!

Matriks - 1

Previous

Next