Peluang - 1

Rabu, 06 November 2019

A. Kaidah Pencacahan

Kaidah-kaidah pencacahan mencoba menemukan berapa banyaknya hasil yang mungkin terjadi (muncul) pada berbagai percobaan. Secara umum cara menemukan banyaknya hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan adalah dengan menggunakan pendekatan-pendekatan berikut.

1. Kaidah perkalian

2. Permutasi

3. Kombinasi

1. Kaidah Perkalian

Kaidah perkalian mengatakan bahwa: Jika tempat pertama dapat diisi dengan n₁ cara yang berbeda, tempat kedua dengan n₂ cara, ..., tempat ke-k dengan n_k cara, maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah:

                        n₁ × n₂ × ... × n_k

2. Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan unsur-unsur berbeda dalah urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan, sehingga AB ≠ BA.

Permutasi r unsur dari n unsur

Banyak permutasi r unsur dari n unsur, yang dinotasikan dengan P(n, r) ditentukan oleh rumus:

Permutasi r unsur dari n unsur dinotasikan juga dengan 
 .

Permutasi dengan Beberapa Unsur yang sama

Banyaknya permutasi dari n unsur yang memiliki r₁ unsurpertama yang sama, r₂ unsur kedua yang sama, ... , dan rₖ unsur ke-k yang sama adalah:

                Dengan                r₁ + r₂ + ... + rₖ ≤ n

Permutasi siklis

Banyaknya permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah:

(n – 1)!

3. Kombinasi

Kombinasi adalah susunan unsur –unsur, yang dinotasikan dengan C(n,r), diberikan oleh rumus:

 

Kombinasi r unsur dari n unsur juga dinotasikan dengan

B. Peluang Suatu Kejadian

Dalam setiap percobaan, akan selalu ada hasil. Himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan dinamakan ruang sampal atau ruang contoh, dan dinotasikan dengan S. Setiap unsur dalam ruang sampal S dinamakan titik sampal. Kejadian merupakan himpukan bagian dari ruang sampal dan didefinisikan sebagai himpunan dari hasil yang diperoleh dalam satu percobaan. Kejadian dinotasikan dengan huruf A, B, C dan seterusnya.

Jika suatu kejadian A dapat terjadi dengan k cara sedangkan semua kemungkinan dari hasil percobaan dapat terjadi dengan n cara maka peluang dari kejadian A, dinotasikan dengan P(A), adalah: 

Definisi peluang dapat juga ditetapkan dengan memanfaatkan pengertian ruang sampel yaitu:

Jika S adalah ruang sempel dari suatu percobaan dengan tiap snggota S memiliki kesempatan yang sama, dan A adalah suatu kejadian dengan A ⊂ S, maka peluang kejadian A ditentukan oleh rumus:

Dengan           n (A) = banyaknya anggota dalam kejadian A

                        n (S) = banyaknya anggota ruang sempel

C. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi harapan suatu kejadian didefinisikan sebagai hasil kali banyak percobaan (n) dengan peluang kejadian. Dengan demikian frekuensi harapan kejadian A, F(A), akan muncul dari n kali percobaan dirumuskan sebagai:

F(A) = n × P(A)

Dengan P(A) = peluang kejadian A.

D. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan A adalah suatu kejadian sembarang dalam ruang sampel S. Komplemen A diartikan sebagai kejadian bukan A, dinotasikan dengan A′. (baca: A aksen). Hubungan antara A, A′, dan ruang sampel S dapat digambarkan dalam diagram Venn berikut.

Dari diagram Venn di samping terlihat bahwa.

n (A) + n (A′) = n (S)

dengan membagi semua ruas dengan n (S) diperoleh.

 

⇒        P(A) + P(A′) = 1

            P(A′) = 1 – P(A)

Jadi, peluang kejadian A dan komplemennya A′ , sama dengan 1.

E. Peluang Kejadian Majemuk

1. Kejadian saling lepas dan tidak saling lepas

a.       Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara bersama-sama.

Jika A dan B saling lepas, maka:

A ∩ B = Ø

Jika kejadian-kejadian tersebut digambarkan dalam diagram Venn, maka diagramnya seperti terlihat pada gambar di samping.

Jika kejadian A dan B saling lepas, maka peluang kejadian A atau B adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

b.      Dua kejadian A dan B dikatakan tidak saling lepas jika kejadian A dan B dapat terjadi secara bersama-sama. Jika A dan B tidak saling lepas maka:

A ∩ B ≠ Ø

Jika kejadian-kejadian tersebut digambarkan dalam diagram Venn, maka diagramnya seperti terlihat pada gambar di samping.

Jika kejadian A dan B tidak salin lepas, maka peluang kejadian A dan B adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

2. Kejadian Saling Bebas dan Bersyarat

a.       Dua kejadian A dan B yang terjadi secara berurutan dikatakan saling bebas apabila kejadian A tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian B.

Apabila A dan B adalah dua kejadian saling bebas, maka peluang terjadinya kejadian A dan B adalah:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

b.      Dua kejadian A dan B yang terjadi secara berurutan dikatakan tidak saling bebas (bersyarat) apabila kejadian A mempengaruhi peluang terjadinya kejadian B.

Apabila A dan B adalah dua kejadian bersyarat, maka peluang terjadinya kejadian A dan B adalah:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B ∣ A)

Catatan:

P(A ∩ B) berarti peluang terjadinya A dan B secara berurutan

P(B ∣ A) berarti peluang terdinya B setelah terjadinya A.

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Peluang - 1. Please share...!