Kombinatorik

Selasa, 17 Desember 2019

Kaidah Pencacahan dan Perjabaran Binom Newton

Ada beberapa ilustrasi persoalan yang berhubungan dengan cara yang mungkin terjadi seperti sebagai berikut :

Contoh :

Misalkan terdapat 3 buah celana dan 4 buah baju. Permasalahannya adalah ada berapa banyak cara seseorang memilih celana dan baju yang akan dipakai ?

Contoh :

Misalkan ada 3 buku : Matematika, Fisika dan Biologi. Jika seseorang ingin menumpuk dua buku secara vertikal, ada berapa cara ia melakukan penumpukan ?

Masalah-masalah tersebut dapat diselesaikan dengan Kaidah Pencacahan yang dapat ditempuh dengan menggunakan satu atau beberapa cara berikut :

   -  aturan pengisian tempat (filling slot)

   -  permutasi

   -  kombinasi

A. Aturan pengisian tempat (filling slots)

Misalkan ada n tempat tersedia dengan k₁ adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama, k₂ adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua, dan seterusnya hingga k adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-n. Maka banyaknya cara mengisi tempat adalah k₁ × k₂ × ···   × k_n.

Cara ini disebut sebagai aturan pengisian tempat dan sering disebut dengan kaidah perkalian.

Sebagai ilustrasi penyelesaian soal contoh 1 adalah sebagai berikut :

Tempat pertama adalah memilih celana. Karena banyaknya celana ada 3, maka banyaknya cara memilih celana ada 3 sedangkan banyaknya cara memilih baju ada 4. Maka banyaknya cara memilih n pasangan celana dan baju ada 4 · 3 = 12 cara.

Untuk soal pada contoh 2, banyaknya cara memilih tempat pertama ada 3 cara karena bukunya ada 3.

Untuk memilih buku yang kedua hanya tinggal 2 cara karena satu buku sudah dipilih pada tempat pertama. Banyaknya cara memilih dua buku adalah 3 · 2 = 6 cara.

Contoh :

Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf R, A, J, I, N jika

a) huruf pertama dimulai dari huruf hidup (vokal)

b) huruf pertama dimulai dari huruf mati (konsonan)

Solusi :

a)      Banyaknya cara memilih huruf pertama ada 2 yaitu A atau I. Karena huruf A atau I sudah dipakai sebagai huruf pertama maka banyaknya cara memilih huruf kedua tinggal 4 cara. (Misalkan huruf pertama adalah A maka kemungkinan huruf kedua ada 4 yaitu R, J, I atau N.) Banyaknya cara memilih huruf ketiga ada 3 cara, huruf keempat ada 2 cara dan huruf kelima tinggal 1 cara. Banyaknya cara menyusun huruf tersebut ada 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 cara.

b)      Banyaknya cara memilih huruf pertama ada 3 yaitu R, J atau N. Banyaknya cara memilih huruf kedua, ketiga, keempat dan kelima berturut-turut ada 4, 3, 2, dan 1 cara. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 cara.

B. Permutasi

Sebelum dibahas lebih jauh mengenai permutasi, akan diperkenalkan terlebih dahulu definisi dan notasi faktorial.

Untuk setiap n bilangan asli, didefinisikan :

n! = 1 x 2 x 3 x ··· x (n – 2) x (n – 1) x n

Notasi n! dibaca n faktorial.

Didefinisikan juga 1! = 1 dan 0! = 1.

Sebagai ilustrasi 2! = 1 x 2 = 2,   3! = 1 x 2 x 3 = 6,   4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24,   5! = 120.

n! = n x (n – 1)! = n x (n – 1) x (n – 2)! = n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3)!  dan seterusnya.

1)     Permutasi dari Unsur-unsur Yang Berbeda

Permutasi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda, dengan r = n adalah nyang didefinisikan dengan :

Perhatikan bahwa dalam permutasi urutan sangat diperhatikan. Ini berbeda dengan kombinasi yang tidak memperhatikan urutan yang nantinya akan dibahas pada bagian lain.

Contoh :

Misalkan dari huruf-huruf P, Q dan R akan dibuat susunan yang terdiri dari 3 huruf maka ada

berapa banyak susunan yang dapat dibuat ?

Solusi :

Dengan aturan pengisian tempat yang telah dipelajari sebelumnya dapat diketahui bahwa

banyaknya susunan adalah 3 x 2 x 1 = 6 susunan.

Jika kita daftarkan satu-satu maka susunan tersebut adalah PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP yang semuanya ada 6 susunan.

Perhatikan bahwa PQR dan PRQ hanya menggunakan huruf P, Q dan R. Tetapi kedua susunan tersebut dianggap berbeda karena urutannya diperhatikan. Maka kita dapat menggunakan permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur.

Banyaknya susunansusunan sebab 3! = 6 dan 0! = 1.

2)      Permutasi Yang Memuat Beberapa Unsur Yang Sama

Pada contoh 10, huruf-huruf yang disediakan semuanya berbeda yaitu P, Q dan R. Bagaimana

jika huruf-huruf yang disediakan ada yang sama. Misalkan pada contoh berikut :

Contoh :

Misalkan dari huruf-huruf P, P dan Q akan dibuat susunan yang terdiri dari 3 huruf maka ada

berapa banyak susunan yang dapat dibuat ?

Solusi :

Kita tidak bisa langsung menjawab bahwa banyaknya susunan adalah ₃P₃ = 6 karena dalam

kenyataannya banyaknya susunan hanya ada 3, yaitu PPQ, PQP dan QPP.

Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur yang sama, m unsur yang sama dan p unsur yang sama dengan k + m + p = n ditentukan dengan rumus:

Pada contoh 16, ada 3 unsur yaitu P, P dan Q dengan terdapat 2 unsur P yang sama maka

banyaknya susunan adalah 3! / 2! = 3.

3)      Permutasi Siklis

Bagaimana jika terdapat beberapa orang yang duduk dalam suatu lingkaran (siklis) ? Ada berapa cara menyusun semuanya ? Persoalan inilah yang berhubungan dengan permutasi siklis.

Misalkan tersedia n unsur yang berbeda.

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur tersebut dirumuskan dengan :

P(siklis) = (n - 1)!

Contoh :

Jika terdapat tiga orang yang duduk pada tiga kursi yang membentuk suatu lingkaran, maka ada berapa banyak susunan yang mungkin terjadi ?

Solusi :

Jika mereka duduk pada kursi yang sejajar maka dengan kaidah perkalian didapat banyaknya

susunan adalah 3 x 2 x 1 = 6. Atau jika dengan permutasi didapat ₃P₃ =  6.

C. Kombinasi

Definisi dari kombinasi :

Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur tersebut berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsur tadi tanpa memperhatikan urutannya.

Kata kunci yang membedakan antara kombinasi dan permutasi adalah memperhatikan atau tidak memperhatikan urutan.

Banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dengan r = n dirumuskan dengan:

Dengan memperhatikan rumus di atas dan membandingkannya dengan rumus permutasi didapat bahwa _nP_r  ≥ _nC_r. Kapan tanda kesamaan terjadi ? 

Pada buku lain penulisan _nC_r  dapat dituliskan dengan notasiatau C (n, r) yang memiliki pengertian yang sama.

D. Persoalan Gabungan

Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya bahwa sebuah persoalan terkadang bisa diselesaikan dengan hanya menggunakan salah satu cara dari aturan pengisian tempat, permutasi atau kombinasi saja. Tetapi kadang-kadang sebuah persoalan hanya dapat diselesaikan dengan menggunakan gabungan dari beberapa cara tersebut. Berikut beberapa contoh persoalan.

Contoh :

Ada berapa banyak cara memilih 2 orang wanita dari 5 orang wanita dan 2 orang laki-laki dari 6 orang laki-laki sebagai ketua, wakil ketua dan 2 orang kepala seksi dari suatu organisasi dengan syarat bahwa ketua dan wakil ketua harus laki-laki dan 2 orang kepala seksi harus wanita ?

Solusi :

2 orang laki-laki dipilih dari 6 orang laki-laki sebagai ketua dan wakil ketua yang berarti urutan diperhatikan. Maka banyaknya cara memilih ada ₆P₂ = 30 cara.

2 orang wanita dipilih dari 5 orang wanita sebagai kepala seksi yang berarti urutan tidak diperhatikan.

Maka banyaknya cara memilih ada ₅C₂ = 10 cara.

Jadi, banyaknya cara memilih ada 30 x 10 = 300 cara.

E. Kombinasi dengan Pengulangan

Misalkan ada n obyek yang akan diletakkan pada r tempat tanpa urutan dengan r = n. Jika disyaratkan bahwa satu tempat hanya bisa menampung paling banyak 1 obyek maka banyaknya cara adalah yang telah kita bahas sebelumnya.

Misalkan terdapat n obyek identik dan disyaratkan bahwa seluruh obyek akan dibagikan ke r buah tempat dengan masing-masing tempat dapat tidak ditempati maupun ditempati satu atau lebih obyek. Pertanyaannya adalah ada berapa banyak cara menyusunnya ?

Karena identik maka urutan dalam persoalan ini tidak diperhatikan. Taruh n obyek tersebut dalam satu baris. Tambakan r - 1 batas di antara bola-bola tersebut sehingga kini seolah-olah ada n + r – 1 ’tempat’. Akibat penambahan r – 1 batas tersebut maka n bola tersebut akan terbagi dalam r bagian, yaitu di sebelah kiri batas ke-1, di antara batas ke-1 dan ke-2 sampai dengan di sebelah kanan batas ke- (r – 1). Masing-masing bagian tersebut melambangkan banyaknya bola pada masing-masing tempat. Sehingga persoalannya sekarang adalah memilih (r – 1) tempat dari n + r – 1 tempat yang tersedia. Banyaknya cara adalah: 

Contoh :

4 buah bola akan dibagikan seluruhnya ke dalam 3 buah kantong. Ada berapa banyak cara

menyusunnya ?

Solusi :

Sebagaimana penjelasan sebelumnya, banyaknya cara = _{4 + 3 – 1}C₄ =  ₆C₄ = 15 cara. Yang kalau dijabarkan susunannya adalah (4,0,0), (3,1,0), (3,0,1), (2,2,0), (2,0,2), (2,1,1), (1,3,0), (1,2,1), (1,1,2), (1,0,3), (0,4,0), (0,3,1), (0,2,2), (0,1,3) dan (0,0,4) dengan (a,b,c) menyatakan kantong pertama berisi a bola, kantong ke-2 berisi b bola dan kantong ke-3 berisi c bola.

Kombinasi dengan pengulangan juga dapat menyelesaikan persoalan mengenai perhitungan banyaknya penyelesaian persamaan linier. Misalkan saja terdapat persamaan x₁ + x₂ + ··· + x_r = n.  Jika x₁ merupakan bilangan bulat tar negatif, maka ada berapa banyak penyelesaian yang memenuhi.

Persoalan ini sama saja dengan membagi n obyek identik ke dalam r buah tempat. Banyaknya

penyelesaian adalah _{n + r – 1} C_n.

F. Penjabaran Binom Newton dengan Notasi Kombinasi

Pada saat, siswa telah diajarkan menjabarkan bentuk (a + b)ⁿ yang untuk nilai n = 2 dapat dilakukan dengan perkalian langsung sedangkan untuk n yang besar dapat dilakukan dengan menggunakan segitiga pascal untuk mendapatkan koefisien-koefisien penjabaran.

Untuk n = 1                                                    1        1

Untuk n = 2                                               1        2        1  

Untuk n = 3                                         1         3        3        1

Untuk n = 4                                   1          4        6       4         1

Untuk n = 5                             1          5         10     10      5         1

⋅⋅⋅

Bilangan yang di bawah merupakan penjumlahan dua bilangan di atasnya. Dari segitiga pascal tersebut akan didapat :

(a − 2b)⁵ = (1)(a)⁵(−2b)^o + (5)(a)⁴(−2b)¹ + (10)(a)³(−2b)² + (10)(a)²(−2b)³ + (5)(a)¹(−2b)⁴ + (1)(a)⁰(−2b)⁵

(a − 2b)⁵ = a⁵ − 10a⁴b + 40a³b² − 80a²b³ + 80ab⁴ −32b⁵

Cara lain adalah dengan menggunakan rumus kombinasi.

Jika (a + b)ⁿ kita jabarkan akan didapat rumus sebagai berikut :

(a + b)ⁿ = _nC_o(a)ⁿ(b)⁰ + _nC₁(a)^{n – 1} (b)¹ + _nC₂(a)^{n – 2} (b)² + ⋅⋅⋅ + _nC_n-1(a)¹(b)^n-1 + _nC_n(a)⁰(b)ⁿ 

atau dapat juga ditulis

(a + b)ⁿ = _nC_o(a)⁰(b)ⁿ + _nC₁(a)¹(b)^n-1 + _nC₂(a)²(b)^n-2 + ⋅⋅⋅ + _nC_n-1(a)^n-1(b)¹ + _nC_n(a)ⁿ(b)⁰.

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kombinatorik. Please share...!