Latihan Dimensi Tiga

Kamis, 19 Desember 2019

Contoh

Jika volum kubus 27 cm³, panjang di agonal sisi kubus adalah ...

A.    3 cm

B.     3 √2 cm

C.     3 √3 cm

D.    9 cm

E.     9 √2 cm

Pembahasan:

Diketahui Volum = 27 cm³

Misalkan panjang rusuk kubus = a

            Volum kubus = a³

            ↔   27 = a³

            ↔     a = ∛27

            ↔     a = 3

           

            Jadi, panjang rusuk kubus = 3 cm

            Panjang diagonal bidang/sisi kubus adalah 3√2 cm.

Jawaban : B

Contoh

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Panjang proyeksi AH pada bidang BDHF adalah ...

A.    8√3 cm

B.     8√2 cm

C.     4√6 cm

D.    4√3 cm

E.     4√2 cm

Pembahasan:

Proyeksi AH pada bidang BDHF adalah OH. Dengan demikian panjang AH = panjang OH. Perhatikan bahwa AOH merupakan segitiga siku-siku di O. Dengan demikian berlaku:

                               AH² = AO² + OH²

                        ↔   OH² = AH² – A²

AH merupakan diagonal bidang ADHE dengan sisi 8 cm, sehingga panjang

AH = 8√2 cm. Panjang AO = ½ × AC

AC = 8√2 cm (Diagonal bidang ABCD), sehingga AO = 4√2 cm.

Dengan menggunakan persamaan *) diperloleh:

                        OH² = (8√2)² – (4√2)²

                        ↔   OH² = 128 – 32

                        ↔   OH² = 96

                        ↔   OH   = 4√6

Jadi, panjang proyeksi AH pada bidang BHDF adalah 4√6 cm.

Jawaban : C

Contoh

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah. Titik P merupakan titik potong diagonal bidang atas. Jarak antara titik B dengan titik P adalah ...

A.    4√2  cm

B.     3√6  cm

C.     3√2  cm

D.    3 cm

E.     2√3  cm

Pembahasan:

Perhatikan bahwa ∆ BFP adalah siku-siku di F. Dengan Pythagoras:

            BP² = BF² + FP²

           

            BF = 6 cm dan FP = ½ × FH = ½ × 6√2 = 3√2

            Jadi,

            BP² = 6² + (√2)²

     ⇔   BP² = 36 + 18

     ⇔   BP² = 54

     ⇔   BP  = 3√6

Jadi, jarak antara titik B dengan P adalah 3√6 cm.

Jawaban : B

Contoh

Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm. Sudut antara BG dan diagonal ruang EC adalah ...

A.    30⁰

B.     45⁰

C.     60⁰

D.    75⁰

E.     90⁰

Jawab

BG dan EC saling bersilangan. Kita dapat menggeser GB menjadi PQ yang berpotong di titik T. Sudut antara BG dan EC sama dengan sudut antara GB dan PQ, yaitu sudut CTQ =  θ. Perhatikan bahwa bidang CPEQ adalah belah ketupat dengan panjang CP = PE = EQ = QC dan diagonal PQ ≠EC. Titik T merupakan titik potong diagonal PQ dan EC. Salah satu sifat belah ketupat adalah kedua diagonal (PQ dan EC) saling membagi dua sama panjang dan tegak lurus di T. Dengan demikian sudut CTQ = 90⁰.

Jadi, sudut antara BG dan EC adalah 90⁰.

Jawaban : E

Contoh

Perhatikan gambar ABCD.EFGH. Sudut antara bidang ABCD dan bidang ACF adalah α. Maka cos α = ...

A.    ⅓√3

B.     ½√6

C.     √2

D.    √3

E.     3

Jawab

AC adalah garis potong antara bidang ABCD dengan bidang ACF.

Garis FT terletak pada bidang ACF dan tegak lurus terhadap AC.

Garis BT terletak pada bidang ACF dan tegak lurus terhadap AC.

Pada gambar tampak bahwa

α = ∠BTF

perhatikan ∆ FBT siku-siku di B, sehingga berlaku :

FT² = BT² + BF²

Misalkan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH = a√2 cm.

Dengan demikian,

                                                            FT² = ( ½ a√2)²

                                                  ⇔      FT² = ½ a² + a²

                                                  ⇔      FT² = 3/2 a²

                                                

Cos ∠BTF = cos α = BT/ FT

                                                      

                                                  ⇔      cos α = ⅓√3

Jadi, cos α = ⅓√3.

Jawaban : A

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Dimensi Tiga. Please share...!