Latihan Merancang Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi

Kamis, 04 Juni 2020

Contoh soal

Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = 6x² – x³ pada interval –1 < x < 3.

Penyelesaian

Fungsi f(x) = 6x² – x³ pada interval –1 < x < 3.
Nilai fungsi pada batas interval:

f(–1) = 6 (–1)² – (–1)³ = 6 + 1 = 7

f(3) = 6 (3)² – (3)³ = 54 – 27 = 27

Nilai stasioner fungsi:

f ′(x) = 12x – 3x² ⇒ 12x – 3x² = 0

3x (4 – x) = 0

x = 0 atau x = 4

x = 0 di dalam interval (dicari nilai fungsinya)
x = 4 di luar interval (tidak dicari nilai fungsinya)

f(0) = 6 (0)² – (0)³ = 0

Diperoleh f(–1) = 7, f(2) = 16, f(3) = 27.
Jadi, nilai maksimum adalah 27 dan nilai minimum adalah 0.

 

Contoh soal

Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = 2x – x² pada interval {x | –1 < x < 2}.

Penyelesaian

Nilai fungsi pada batas interval.

f(–1) = 2(–1) – (–1)² = –2 – 1 = –3

f(2) = 2(2) – (2)² = 4 – 4 = 0

Nilai stasioner apabila f ′(x) = 0

 f ′(x) = 2 – 2x

0 = 2 – 2x

2x = 2

x = 1

Untuk x = 1 → f(1) = 2⋅ 1 – 1 = 2 – 1 = 1

Jadi, nilai maksimum fungsi adalah 1 dan nilai minimum fungsi adalah –3.

 

 

Contoh soal

 

Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Dalam waktu t detik ketinggian yang dicapai oleh bola dengan persamaan h(t) = 36t – 9t².
a.  Tentukan waktu (t) yang diperlukan sehingga tinggi bola maksimum.
b.  Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola itu.

Penyelesaian

a.   h(t) = 72t – 9t²
h'(t) = 72 – 18t
Agar mencapai maksimum maka h'(t) = 0

h'(t) = 72 – 18t

0 = 72 – 18t

18t = 72

        = 4 detik

 

b.  Tinggi maksimum yang dicapai bola itu adalah:
h(t) = 72t – 9t²

 = 72 ⋅ 4 – 9 ⋅ 42

 = 72 ⋅ 4 – 9 ⋅ 16

 = 288 – 144 = 144 meter

 

Contoh soal

 

Kita akan membuat kotak tanpa tutup dari sehelai karton yang berbentuk bujur sangkar (persegi) dengan rusuk = 20 cm, dengan jalan memotong bujur sangkarkecil pada keempat  sudutnya, tentukan ukuran kotak supaya isinya sebanyakbanyaknya.

Penyelesaian

Masalah di atas dapat dituangkan dalam gambar. Misalkan potongan persegi pada sudutnya adalah x cm. Maka ukuran kotak yang akan dibuat adalah:

panjang = (20 – 2x)

lebar = (20 – 2x)

tinggi = x cm

 

Sehingga volum kotak:

Volume = (20 – 2x)(20 – 2x) x cm³

  = 400x – 80x² + 4x³ cm

 

Terdapat suatu fungsi x dari volume kotak:

v(x) = 400x – 80x² + 4x³

Supaya kotak tersebut mempunyai volume yang maksimum, maka:

v'(x) = 0

400 – 160x + 12x² = 0

12x² – 160x + 400 = 0

3x² – 40x + 100 = 0

(3x – 10) (x – 10) = 0

3x – 10 = 0  atau  x – 10 = 0

                     x = 10

 

•    Untuk x = 10, maka v (0) = 0, mendapatkan titik (10, 0) merupakan titik balik minimum. Sehingga titik ini tidak memenuhi, karena yang diminta adalah volume maksimum. 

•    Untuk maka mendapatkan titik menunjukkan titik balik maksimum, sehingga supaya volume kotak yang dibuat maksimum dicapai bila . Atau dengan kata lain: karton tersebut dipotong pada keempat sudutnya dengan bentuk bujur sangkar dengan sisicm. Jadi ukuran kotaknya adalah:

 

panjang =

lebar = panjang
tinggi kotak =cm.

 

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Merancang Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi . Please share...!