Faktorisasi Persekutuan Terbesar (FPB)

Sabtu, 25 Desember 2021

 

Terdapat beberapa teorema dalam FPB yaitu:

 

Teorema 1

Jika a dan b bilangan bulat dan berlaku (a, b) = d maka terdapat bilangan bulat x dan y sehingga memenuhi ax + by = d

 

Bukti

 

Menurut sifat faktor persekutuan dua bilangan bulat, berlaku jika (a, b) = d maka d│a dan d│b

Karena d│a maka terdapat bilangan bulat k sehingga a = kd

Karena d│b maka terdapat bilangan bulat m sehingga b = md

Sehingga ax + by = kdx + mdy = (kx + my)d

Karena (a, b) = d maka kx + my = 1. Sehingga terbukti bahwa ax + by = d.

 

Teorema 2

Jika (a, b) = 1 dan a│bc, maka berlaku a│c

 

Bukti

 

Jika (a, b) = 1 maka menurut teorema 1 terdapat m dan n sehingga ma + nb = 1

a│bc ⇒ terdapat k sedemikian sehingga bc = ak.

Diperoleh:

ma + nb = 1

mac + nbc = c

mac + nak = c

a(mc + nk) = c

Bentuk terakhir ini berarti a│c.

 

Teorema 3 (Teorema diophantine)

Persamaan linear ax + by = c mempunyai penyelesaian bilangan bulat jika dan

hanya jika (a, b)│c.

 

Bukti

 

Misalkan (a, b) = d dan d│c.

Karena d│c maka menurut teorema, terdapat bilangan bulat k sehingga c = kd.

Menurut teorema 1, Jika (a, b) = d maka d│(a, b) sehingga menurut sifat, jika d│(a, b) maka terdapat m dan n sehingga am + bn = d

Akibatnya:

am + bn = d

am.k + bn.k = dk

a(km) + b(kn) = kd

a(km) + b(kn) = c

Diperoleh x = mk dan y = nk.

 

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh soal tentang keterbagian bilangan bulat:

 

01.   Jika p dan q adalah bilangan prima dimana p > q, serta p + q = 2005 maka berapakah nilai p dan q?

 

Jawab:

 

Karena 2005 bilangan ganjil maka salah satu dari p atau q harus genap sedangkan yang lainnya ganjil.

Bilangan prima genap hanya 2 sehingga q = 2

Maka p + 2 = 2005

 p = 2003

 

Jadi p = 2003 dan q = 2

 

02. Tentukan sisa hasil bagi jika 22010 + 32010 dibagi 5

 

Jawab:

 

Barisan 2n mengikuti pola 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …

Sehingga angka terakhir dari suku sukunya akan berulang setiap 4 suku.

Maka: 2²⁰¹⁰ = (2⁴)⁵² · 2² digit terakhirnya adalah 4

 

Jadi terdapat bilangan real k sehingga 2²⁰¹⁰ = 10k + 4 … (1)

Barisan 3n mengikuti pola 3, 9, 27, 81, 243, 729, …

Sehingga angka terakhir dari suku sukunya akan berulang setiap 4 suku.

Maka: 3²⁰¹⁰ = (3⁴)⁵² · 3² digit terakhirnya adalah 9

 

Jadi terdapat bilangan real p sehingga 3²⁰¹⁰ = 10p + 9 … (2)

Sehingga

2²⁰¹⁰ + 3²⁰¹⁰ = (10k + 4) + (10p + 9)

     = 10(k + p) + 10 + 3

     = 10(k + p + 1) + 3

 

Karena 10(k + p + 1) + 3 habis dibagi 5 maka sisa pembagiannya adalah 3.

 

03.   Tentukan batasan nilai n sehingga 44⁴⁴ habis dibagi 8ⁿ

 

Jawab:

 

44⁴⁴ = 4⁴⁴ · 11⁴⁴

  = (4²) · 11⁴⁴

  = 16²² · 11⁴⁴

  = (8 · 2)²² · 11⁴⁴

  = 8²² · 2²² · 11⁴⁴

  = 8²² · (2³)⁷ ·2¹ · 11⁴⁴

  = 8²² · (8)⁷ ·2¹ · 11⁴⁴

  = 8²⁹ · 2 · 11⁴⁴

 

Jadi batasan nilai n adalah n ≤ 29

 

04.   Berapa banyakkah bilangan bulat n dimana 100 ≤ n ≤ 200 sehingga pecahanbelum berbentuk pecahan yang paling sederhana?

 

Jawab:

 

  

Agar pecahan  belum sederhana, maka pecahanjuga belum sederhana.

Ini berarti 2 membagi n² – 1, akibatnya n² – 1 bernilai genap sehingga n harus ganjil.

 

Dalam interval 100 ≤ n ≤ 200 terdapat 50 buah n ganjil.

 

Jadi banyakkah bilangan bulat n dimana 100 ≤ n ≤ 200 sehingga pecahan  belum berbentuk pecahan yang paling sederhana adalah 50 buah.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Faktorisasi Persekutuan Terbesar (FPB). Please share...!