Pertidaksamaan Kuadrat

Minggu, 07 Agustus 2022

Bentuk Umum pertidaksamaan kuadrat adalah ax² + bx + c < 0 atau ax² + bx + c > 0 atau ax² + bx + c = 0 atau ax² + bx + c ≥ 0. Penyelesaiannya berupa interval berhingga atau interval tak hingga dengan aturan sebagai berikut:

Jika p dan q adalah akar-akar dari persamaan ax² + bx + c = 0, maka p dan q merupakan batas-batas interval penyelesaian pertidaksamaan kuadrat tersebut.

Jika D = b² – 4ac merupakan diskriminannya, maka penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dijelaskan sebagai berikut:

 

Untuk diskriminan positif (D > 0), maka akan terdapat dua titik batas interval, yakni p dan q sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dibantu dengan sketsa grafik fungsi kuadrat berikut:

·        ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya p < x < q

·        ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ q

·        ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya x < p atau x > q

·        ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ q.

·        ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya x < p atau x > q

·        ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ q

·        ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya p < x < q

·        ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ q

Untuk diskriminan nol (D = 0), maka akan terdapat satu titik batas interval, misalkan p (p = q) sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dibantu dengan sketsa grafik fungsi kuadrat berikut.

 

·        ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya p < x < p atau tidak ada nilai x yang memenuhi

·        ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ p atau x = p

·        ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya x < p atau x > p atau x memenuhi semua bilangan real kecuali p

·        ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ p atau x memenuhi semua bilangan real

·        ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya x < p atau x > p atau x memenuhi semua bilangan real kecuali p

·        ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ p atau x memenuhi semua bilangan real

·         ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya p < x < p atau tidak ada nilai x yang memenuhi

·        ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ p atau x = p

Untuk diskriminan negatif (D < 0), maka tidak terdapat titik batas interval, sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dibantu dengan sketsa grafik fungsi kuadrat berikut.

·        ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x yang memenuhi

·        ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x yang memenuhi

·        ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya memenuhi semua bilangan real x

·        ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya memenuhi semua bilangan real x

·        ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya memenuhi semua bilangan real x

·        ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya memenuhi semua bilangan real x

·        ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x yang memenuhi

·        ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x yang memenuhi.

Adapun Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan adalah sebagai berikut :

(1)        Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi 0

(2)        Tentukan batas-batas intervalnya, yaitu akar-akar persamaan kuadratnya

(3)        Nyatakan dalam garis bilangan atau gambar grafiknya

(4)        Tentukan interval penyelesaiannya

 

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut:

 

1.     Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :

      a. x² – 8x + 16 > 0

      b. x² + 10x + 25 < 0

Jawab

 

a. x² – 8x + 16 > 0

        (x – 4)(x – 4) > 0

         x = 4

         x < 4 atau x > 4

        Atau nilai x memenuhi untuk semua bilangan real kecuali 4.

    b. x² + 10x + 25 < 0

            (x + 5)(x + 5) > 0

             x = –5

             –5 < x < –5

            Atau tidak ada nilai x yang memenuhi.

2.     Sebuah perusahaan sepatu memproduksi dan menjual berbagai model sepatu. Untuk satu model sepatu tertentu diperkirakan dijual seharga a rupiah. Jika dalam satu minggu dikeluarkan biaya sebesar M rupiah dan pendapatan yang diterima P rupiah serta dirumuskan M = 2.000.000 – 40.000a dan P = 20.000a – 400a2 maka berapa batas harga sepatu persatuan harus dijual agar memperoleh keuntungan ?

 

Jawab

 

Agar mendapat keuntungan maka :

P > M

20000a – 400a² > 2000000 – 40000a

20000a – 400a² – 2000000 + 40000a > 0

–400a² + 60000a – 2000000 > 0

a² – 150a + 5000 < 0

(a – 100)(a – 50) < 0

Batas interval a₁ = 100 dan a₂ = 50

 

Jadi interval harga sepatu adalah : 50 < a < 100

3.     Kiper Kevin menendang bola yang sudah ditangkapnya. Tinggi bola h, dalam meter, t detik setelah ditendang membentuk persamaan h = –3t² + 18t. Kapan bola mencapai ketinggian lebih dari 24 m?

 

Jawab

 

h > 24

–3t² + 18t > 24

–3t² + 18t – 24 > 0

3t² – 18t + 24 < 0

t² – 6t + 8 < 0

(t – 4)(t – 2) < 0

t₁ = 4 dan t₂ = 8

maka 4 < t < 8

 

Jadi bola mencapai ketinggian lebih dari 24 m pada waktu antara 4 sampai 8 detik.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Pertidaksamaan Kuadrat. Please share...!