Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Minggu, 18 September 2022

Pada gambar di samping diperlihatkan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan, sehingga titik A mempunyai koordinat (1, 0).

Misalkan ÐAOB = α, dan ÐBOC = β, maka ÐAOC = α + β

 

Dengan mengambil sudut pertolongan ÐAOD = –β, maka ∆ AOC kongruen dengan ∆ BOD, akibatnya :

AC = BD

AC² = BD²                                                          … (1)

Karena jari-jari lingkaran 1 satuan, maka berdasarkan rumus koordinat didapatkan:

Koordinat titik B (cos α, sin α)

Koordinat tititk C ((cos (α + β), sin (α + β))

Koordinat titik D (cos(–β), sin(–β)) = D (cos β, –sin β)

 

Dengan menggunakan rumus jarak dua titik diperoleh :

Titik A (1, 0) dan C (cos (α + β), sin (α + β))

AC² = {cos (α + β) – 1}² + {sin (α + β) – 0}²

AC² = cos² (α + β) – 2 cos (α + β) + 1 + sin² (α + β)

AC² = cos² (α + β)² + sin² (α + β) + 1 – 2 cos (α + β)

AC² = 1 + 1 – 2 cos (α + β)

AC² = 2 – 2 cos (α + β)                                        … (2)

Titik B (cos α, sin α) dan D (cos β, –sin β)

BD² = (cos β – cos α)² + (–sin β – sin α)²

BD² = cos² β – 2 cos β.cos α + cos² α + sin² β + 2 sin β.sin α + sin² α

BD² = (cos² β + sin² β) + (cos² α + sin² α) – 2 cos α cos β.+ 2 sin α.sin β.

BD² = 1 + 1 – 2 cos α.cos β + 2 sin α.sin β

AC² = 2 – 2 cos α.cos β + 2 sin α.sin β                 … (3)

Karena AC² = BD² diproleh hubungan :

2 – 2 cos (α + β) = 2 – 2 cos α.cos β + 2 sin α.sin β

cos(α + β) = cos α.cos β – sin α.sin β

Jadi rumus identitas cosinus jumlah dua sudut adalah :

cos (α + β) = cos α.cos β – sin α.sin β

Rumus untuk cos (α – β) dapat diperoleh dari rumus cos (α + β) dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (–β) sebagai berikut :

cos (α + (–β)) = cos α.cos (–β) – sin α.sin (–β)

cos (α – β) = cos α.cos β – (–sin α.sin β)

cos (α – β) = cos α.cos β + sin α.sin β

Jadi rumus identitas cosinus selisih dua sudut adalah :

cos (α – β) = cos α.cos β + sin α.sin β

 

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

 

1.     Tentukanlah nilai dari :

(a) cos 75°

(b) cos 165°

 

Alternatif Pembahasan :

 

  

 

Untuk mendapatkan rumus sin (α + β) dapat diperoleh dengan menggunakan rumusrumus yang pernah diperlajari sebelumnya, yakni :

sin (90° – α) = sin α       dan             cos (90° – α) = cos α

sehingga diperoleh :

sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]

sin (α + β) = cos [(90° – α) – β]

sin (α + β) = cos(90° – α).cos β + sin (90° – α).sin β

sin (α + β) = sin α.cos β + cos α.sin β

Jadi rumus untuk identitas sinus jumlah dua sudut adalah :

sin (α + β) = sin α.cos β + cos α.sin β

 

Rumus untuk sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β) dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (–β) sebagai berikut :

sin (α + (–β)) = sin α.cos(–β) + cos α.sin(–β)

sin (α – β) = sin α.cos β + (–cos α .sin β)

sin (α – β) = sin α.cos β – cos α.sin β

 

Jadi rumus identitas sinus selisih dua sudut adalah :

sin (α – β) = sin α.cos β – cos α.sin β

 

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

 

2.     Tentukanlah nilai dari :

(a) sin 15°

(b) sin 285°

 

Alternatif Pembahasan :

 

  

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut. Please share...!