Invers Perkalian Matriks Ordo (2×2) – 1

Sabtu, 08 Oktober 2022

Terdapat beberapa sifat yang berkenaan dengan invers matriks, yaitu:

 

Sifat 1

 

Jika A adalah matriks berordo (2 × 2) dan k adalah bilangan real, maka:

Bukti

Misalkan, maka

 

Sifat 2

 

Jika A adalah transpose matriks A maka berlaku (A^t) ^{– 1}  = (A^{– 1})^t

Bukti

Jika , maka

    sehingga 

    sehingga

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa (A^t)^{- 1} = (A^{- 1})^t

 

Sifat 3

 

Jika A adalah matriks berordo (2 × 2) maka berlaku (A^{- 1})^{- 1} = A

Bukti

Misalkan : (A^{- 1})^{- 1} = B                               ... (1)

Maka A^{- 1} (A^{- 1})^{- 1} = A^{- 1} . B         (kedua ruas dikalikan dengan A^{- 1}dari kiri)

            I = A^{- 1} . B

     A × I = A × A^{- 1}. B       (Kedua ruas dikalikan dengan A)

          A = I × B

          A = B                                  ... (2)

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa (A^{- 1})^{- 1} = A

 

Sifat 4

 

Jika A dan B adalah matriks berordo (2 × 2) maka berlaku : (A × B)^- 1 = B^- 1× A^- 1

Bukti

Misalkan (A × B) ^{- 1}  = C                    … (1)

Maka:

((A × B)^{- 1})^{- 1} = C^{- 1}                  (kedua ruas di inverskan)

A × B = C^{- 1}

A^{- 1} × A × B = A^{- 1} × C^{- 1}           (Kedua ruas dikalikan dengan A^{- 1} dari kiri)

I × B = A^{- 1} × C^{- 1}

B = A^{- 1}  × C^{- 1}

B × C = A^{- 1} × C^{- 1}  × C               (Kedua ruas dikalikan dengan C dari kanan)

B × C = A^{- 1} × I

B × C = A^{- 1}

B^{- 1}  × B × C = B^{- 1} × A^{- 1}        (Kedua ruas dikalikan dengan B^- 1 dari kiri)

I × C = B^{- 1} × A^{- 1}

C = B^{- 1}  × A^{- 1}                                    … (2)

 

Dari (1) dan (2) diperoleh : (A × B^{- 1}  = B^{- 1} × A^{- 1}

 

Sifat 5

 

Jika A, B dan C adalah matriks-matriks berordo (2 × 2) maka :

(1)   Tidak berlaku sifat komutatif perkalian, sehingga A × B ≠ B × A

(2)   Berlaku sifat asosiatif perkalian, sehingga : (A × B) × C = A × (B × C)

(3)   Berlaku sifat distributif, sehingga A(B + C) = AB + AC

 

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini:

 

1.    Tentukanlah invers setiap matriks 

Alternatif Pembahasan :

 

  

2.    Jika matriksadalah invers dari matriksmaka tentukanlah nilai x dan y

 

Alternatif Pembahasan :

 

  

Maka :

2x + 1 = –3                  x + y = 1

      2x = –4                –2 + y = 1

   x = –2                        y = 3

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Invers Perkalian Matriks Ordo (2×2) – 1. Please share...!