Hiperbola – 1

Sabtu, 19 November 2022

Berikut ini akan diuraikan keempat bentuk hiperbola beserta unsur-unsurnya :

 

a.     Hiperbola Horizontal dengan Pusat O(0, 0)

 

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum : 

Koordinat titik puncaknya di A₁(a, 0) dan A₂(–a, 0)

Sumbu nyata adalah sumbu-X dan Sumbu sekawan adalah sumbu-Y

Titik fokus di F₁(c, 0) dan F₂(–c, 0) dimana c² = a² + b²

Nilai eksentrisitas elips dinyatakan dengan 

Persamaan asimtoot dirumuskan 

Panjang latus rectum : 

 

b.     Hiperbola Vertikal dengan Pusat O(0, 0)

 

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum : 

Titik puncaknya di A₁(0, a) dan A₂(0, –a)

Sumbu nyata adalah sumbu-Y dan Sumbu sekawan adalah sumbu-X

Titik focus di F₁(0, c) dan F₂(0, –c) dimana c² = a² + b²

Garis asimtoot dirumuskan : 

Panjang latus rectum : 

 

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.    Tentukan persamaan garis asimtoot hiperbola 3x² – y² = 48

 

Alternatif Pembahasan :

 

3x² – y² = 48

  

 

2.    Tentukan persamaan hiperbola dengan titik puncaknya di (4, 0) dan (–4, 0)

serta panjang panjang latus rectum 16/3 satuan

 

Alternatif Pembahasan :

 

Hiperbola horizontal dengan puncak (–4, 0) dan (4, 0), maka a = 4

Panjang latus rectum 9 satuan sehinggamaka b = 6.

 

  

 

3.    Tentukan persamaan hiperbola jika puncaknya di (0, 0), salah satu fokusnya di (0, 8) dan salah satu puncaknya di titik (0, –4) adalah …

 

Alternatif Pembahasan :

 

Hiperbola berbentuk vertikal dengan fokus F(0, 8) maka c = 8 salah satu puncaknya di titik (0, –4) sehingga a = 4.

Sehingga c² = a² + b²

                8² = 4² + b²

                64 = 16 + b²

                b² = 48

 

  

 

c.      Hiperbola Horizontal dengan Pusat M(p, q)

 

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum : 

Koordinat titik puncaknya di A₁(a + p, q) dan A₂(–a + p, q)

Sumbu utama adalah garis x = p dan Sumbu sekawan adalah garis y = q

Titik fokus di F₁(c + p, q) dan F₂(–c + p, q) dimana c² = a² + b²

Nilai eksentrisitas hiperbola dinyatakan dengan 

Persamaan asimtoot dirumuskan : 

Panjang latus rectum : 

 

 

d.     Hiperbola Vertikal dengan Pusat M(p, q)

 

Hiperbola ini mempunyai bentuk Umum : 

Puncaknya di A₁(p, a + q) dan A₂(p, –a + q)

Sumbu nyata adalah garis y = p dan sumbu sekawan adalah garis y = q

Titik focus di F₁(p, c + q) dan F₂(p, –c + q) dimana c² = a² + b²

Nilai eksentrisitas dirumuskan : 

Garis asimtoot dirumuskan : 

Panjang latus rectum : 

 

 

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.     Tentukan titik fokus hiperbola 4x² – 5y² – 40x – 30y + 245 = 0 adalah …

 

Alternatif Pembahasan :

 

4x² – 5y² – 40x – 30y + 245 = 0

4(x² – 10x) – 5(y² + 6y) = –245

4(x² – 10x + 25) – 5(y² + 6y + 45) = –245 + 4(25) + 5(45)

4(x – 5)² – 5(y + 3)² = 80

  

Titik fokus hiperbola adalah : F₁(–6 + 5, –3) = F₁(–1, –3)

                                              F₂(6 + 5, –3) = F₂(11, –3)

 

2.     Tentukan persamaan asimtot hiperbola –9x² + 25y² – 18x – 200y + 166 = 0

 

Alternatif Pembahasan :

 

–9x² + 25y² – 18x – 200y + 166 = 0

–9x² – 18x + 25y² – 200y = –166

–9(x² + 2x + 1) + 25(y² – 8y + 16) = –166 – 9 + 400

–9(x + 1)² + 25(y – 4)² = 225

  

  

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Hiperbola – 1. Please share...!